Elisabeth Coleger

Geometria obliczanie kątów w figurach zadania

© Elisabeth Coleger, 2023

Książka jest podręcznikiem poświęconym klasycznej geometrii, omówione w niej zostały figury geometryczne, takie jak kwadrat, trójkąt, okrąg, pięciokąt, sześciokąt oraz zadania do obliczania kątów tych figur. Książka powstała z notatek do wykładów z geometrii, prowadzonych przez autorów w ciągu wielu lat na Wydziale Matematyki.

Przykłady zadań pochodzą z kolokwiów i egzaminów, inne to ulubione zadania Autorów przerabiane na wykładach.

ISBN 978-83-8324-792-2

Książka powstała w inteligentnym systemie wydawniczym Ridero

Elisabeth Coleger

06.03.2022r.

Kąty wewnętrzne w trójkątach

Wstęp

Suma kątów wewnętrznych opisuje, jak duże są wszystkie kąty w figurze geometrycznej. Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest zawsze równa 180°. Jest wiele różnych sposobów obliczania kątów wewnętrznych w trójkącie w zależności od tego jakimi danymi dysponujemy, poniżej zostaną przedstawione przykłady obliczania kątów w różnych trójkątach i posiadając różne informacje.

Przykład 1 trójkąt równoboczny

W trójkącie równobocznym każdy poszczególny kąt ma miarę 60° ponieważ wszystkie kąty są takie same.

Suma wewnętrznych kątów w trójkącie jest równa 180°[1].

Równanie

α= 180°/3= 60°

Odpowiedź

Kąty w trójkącie równobocznym mają następujące wartości:

α= 60°, β= 60°, γ= 60°

[1] Piotr Zarzycki, Matematyka 4: geometria: ćwiczenia dla klasy
czwartej szkoły podstawowej, 2015r.

Przykład 2 trójkąt równoramienny część 1

W trójkącie równoramiennym dwa boki, jego ramiona mają tą samą długość, znaczy to, że 2 kąty w nim znajdujące się mają takie same wartości oraz to, że do obliczenia ich wystarczy wiedzieć ile wynosi kąt α.

Zadanie

W trójkącie równoramiennym kąt α= 40°, oblicz kąty w dwóch kątach znajdujących się przy ramionach tego trójkąta.

Rozwiązanie

α=40°, aby obliczyć pozostałe kąty β i γ należy zastosować wzór

(180°- α )/2= β i γ

β i γ= (180°- 40°)/2=140°/2= 70°

Odpowiedź

Pozostałe kąty β i γ mają wartość 70°.

Przykład 3 trójkąt równoramienny część 2

W trójkącie równoramiennym dwa boki, jego ramiona mają tą samą długość, znaczy to, że 2 kąty w nim znajdujące się mają takie same wartości oraz to, że do obliczenia ich wystarczy wiedzieć jaką wartość wynosi jeden z kątów w podanym trójkącie. W poniższym zadaniu przedstawiony został szczególny przykład trójkąta równoramiennego będącym jednocześnie trójkątem rozwartokątnym, czyli jest to trójkąt, którego jeden kąt jest rozwarty[1]. Kąt rozwarty ma miarę większą niż 90°.

Zadanie

W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie β= 40°, oblicz kąt α znajdujący się przy podstawie oraz kąt między ramionami γ.

Rozwiązanie

β =40°, aby obliczyć pozostałe kąty α i γ zastosujemy następujące wzory.

β= α,

β= 40°

α= 40°

γ= 180°- α- β= 180°- 40°- 40°= 100°

Odpowiedź

Kąty w trójkącie równoramiennym mają następujące wartości:

β= 40°, α= 40°, γ= 100°

[1] Karol Borsuk, Geometria analityczna w n wymiarach, 2010r.

Przykład 4 trójkąt prostokątny część 1

W trójkącie prostokątnym jeden kąt zawsze jest równy 90° oraz dwa kąty ostre.

Zadanie

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma wartość β= 30°, oblicz pozostałe kąty znajdujące się w tym trójkącie.

Rozwiązanie

α= 90°,

β= 30°,

aby obliczyć kąt γ należy zastosować wzór

γ= 180°-(α+β)

γ= 180°- (90°+30°)= 180°-120°= 60°

Odpowiedź

Kąty w trójkącie prostokątnym mają następujące wartości:

α= 90°, β= 30°, γ= 60°

Przykład 5 trójkąt prostokątny część 2

W trójkącie prostokątnym jeden kąt zawsze jest równy 90° oraz dwa kąty ostre.

Zadanie

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma wartość β= 75°, oblicz pozostałe kąty znajdujące się w tym trójkącie.

Rozwiązanie

α= 90°,

β= 75°,

aby obliczyć kąt γ należy zastosować wzór

γ= 180°-(α+β)

γ= 180°- (90°+75°)= 180°-165°= 15°

Odpowiedź

Kąty w trójkącie prostokątnym mają następujące wartości:

α= 90°, β= 75°, γ= 15°

[1] Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Jolanta
Wesołowska, Matematyka 3: podręcznik dla szkół
ponadgimnazjalnych, zakres podstawowy, 2017r.

[1] Beata Kossakowska, Władysława Paczesna, Egzamin
ósmoklasisty: matematyka: zadania z rozwiązaniami: geometria, 2020r.

[1] Mirosław Majewski, Geometria w kolorze: zaczarowany świat
trójkątów, 2015r.

[1] Mark de Berg, Geometria obliczeniowa: algorytmy i
zastosowania, 2007r.

[1] Cezary Bowszyc, Jerzy Konarski, Wstęp do geometrii
różniczkowej, 2016r.

[1] Wojciech Guzicki, Geometria analityczna: rozszerzony program
matematyki w liceum, 2022r.

[1] Matura z matematyki na poziomie rozszerzonym tom II
zadania z rozwiązaniami, Tadeusz Socha, 2015r.

Koniec darmowego fragmentu książki.

Zachęcamy do zakupu pełnej wersji.