Spis treści

Karta redakcyjna

Wstęp

1. Nieskończoność

2. Człowiek, który okiełznał nieskończoność

3. Odkrycie praw ruchu

4. Jutrzenka rachunku różniczkowego

5. Na rozstaju dróg

6. Słownik zmiany

7. Tajemne źródło

8. Wytwory wyobraźni

9. Logiczny wszechświat

10. Na fali

11. Przyszłość rachunku różniczkowego i całkowego

Zakończenie

Podziękowania

Źródła ilustracji

Literatura

Przypisy

© Copyright by Copernicus Center Press, 2021
Copyright © 2019 by Steven Strogatz
Illustrations © 2019 by Margaret C. Nelson
All rights reserved

Tytuł oryginalny
Infinite Powers. How Calculus Reveals the Secrets of the Universe

Konsultacja naukowa
dr Tomasz Miller

Adiustacja i korekta
Gabriela Niemiec

Projekt okładki i stron tytułowych
Michał Duława

Grafika na okładce
VAlex/Shutterstock

Skład
MELES-DESIGN

ISBN 978-83-7886-561-2

Wydanie I

Kraków 2021

Copernicus Center Press Sp. z o.o.
pl. Szczepański 8, 31-011 Kraków
tel. (+48) 12 448 14 12, 500 839 467
e-mail: marketing@ccpress.pl
Księgarnia internetowa: http://ccpress.pl

Konwersja: eLitera s.c.

∞

Wstęp

Bez rachunku różniczkowego i całkowego nie byłoby telefonów komórkowych, komputerów ani kuchenek mikrofalowych. Nie byłoby radia ani telewizji. Nie byłoby badań ultradźwiękowych ciężarnych kobiet ani nawigacji satelitarnej. Nie rozszczepilibyśmy atomu, nie rozszyfrowali genomu ludzkiego, nie wysłali astronautów na Księżyc. Być może nie powstałaby nawet Deklaracja niepodległości Stanów Zjednoczonych.

Jest osobliwością historii, że ezoteryczna dziedzina matematyki na zawsze zmieniła świat. Jak to możliwe, że teoria pierwotnie dotycząca geometrycznych kształtów w końcu nadała nowy kształt całej cywilizacji?

Istota odpowiedzi zawiera się w uwadze, jaką fizyk Richard Feynman skierował do powieściopisarza Hermana Wouka podczas rozmowy o projekcie Manhattan. Wouk zbierał materiały do wielkiej powieści o drugiej wojnie światowej i udał się do Kalifornijskiego Instytutu Technicznego, aby przeprowadzić wywiady z fizykami, którzy pracowali nad bombą atomową. Jednym z nich był Feynman. Po rozmowie, tuż przed pożegnaniem, ten zapytał Wouka, czy zna rachunek różniczkowy i całkowy. Wouk odparł, że nie zna. „Powinien się pan nauczyć. Jest to język, którym mówi Bóg”, powiedział Feynman[1].

Z powodów, których nie rozumie nikt, wszechświat ma naturę głęboko matematyczną[2]. Być może Bóg go takim uczynił, a być może tylko w takim wszechświecie moglibyśmy istnieć, gdyż niematematyczne wszechświaty nie stworzyłyby wystarczająco inteligentnego życia, aby mogło paść takie pytanie. Tak czy inaczej, jest tajemniczym i zachwycającym faktem, że nasz wszechświat podlega prawom przyrody, które zawsze dają się wyrazić w języku rachunku różniczkowego i całkowego – w zdaniach, które zwiemy równaniami różniczkowymi. Równania takie opisują różnicę między czymś, co jest teraz, i tym samym, ale chwilę później, albo różnicę między tym, co jest tutaj, i tym samym, ale przesuniętym w przestrzeni o nieskończenie małą odległość. Szczegóły mogą się różnić w zależności od tego, o jakim fragmencie przyrody mówimy, lecz struktura tych praw jest zawsze taka sama. To zdumiewające stwierdzenie możemy wypowiedzieć inaczej: wydaje się, że świat posiada swój kod, system operacyjny, który wszystko ożywia z chwili na chwilę i z miejsca na miejsce. Rachunek różniczkowy i całkowy opiera się na tym porządku i go wyraża.

Jako pierwszy dostrzegł tę tajemnicę wszechświata Isaac Newton. Odkrył on, że orbity planet, rytm przypływów i odpływów oraz tory lotu kul armatnich można opisać, wyjaśnić i przewidzieć dzięki niewielkiej liczbie równań różniczkowych. Nazywamy je dzisiaj prawami ruchu i powszechnego ciążenia Newtona. Później ludzie się przekonali, że ten sam schemat panuje w każdym nowo odkrytym fragmencie wszechświata. Poczynając od starożytnych elementarnych substancji: ziemi, powietrza, ognia i wody, a skończywszy na współczesnych elektronach, kwarkach, czarnych dziurach i superstrunach – wszystkie nieożywione obiekty we wszechświecie stosują się do równań różniczkowych. Sądzę, że to właśnie miał na myśli Feynman, kiedy twierdził, że rachunek różniczkowy i całkowy jest językiem, którym mówi Bóg. Jeśli cokolwiek zasługuje na miano tajemnicy wszechświata, to jest tym rachunek różniczkowy i całkowy.

Odkrywając niechcący ten osobliwy język – najpierw w zakątku geometrii, potem w kodzie wszechświata – następnie ucząc się nim płynnie mówić i odczytywać jego idiomy i niuanse, a wreszcie zaprzęgając jego moc przewidywania do osiągania wytyczonych przez siebie celów, ludzkość uczyniła użytek z rachunku różniczkowego i całkowego, aby przeobrazić świat.

Taka jest główna teza tej książki.

Jeżeli teza ta jest słuszna, oznacza to, że odpowiedź na wielkie pytanie o życie, wszechświat i całą resztę wcale nie brzmi „42” – i niech miłośnicy Douglasa Adamsa i jego książki Autostopem przez Galaktykę nie biorą mi tego za złe[3]. Niemniej powieściowy superkomputer miał po części rację: tajemnica wszechświata rzeczywiście ma naturę matematyczną.

Rachunek różniczkowy i całkowy dla każdego

Uwaga Feynmana o języku, którym mówi Bóg, pociąga za sobą wiele głębokich pytań. Czym jest rachunek różniczkowy i całkowy? Jak ludzie doszli do zrozumienia, że Bóg się nim posługuje (lub – jeśli ktoś woli – że wszechświat mu podlega)? Czym są równania różniczkowe i w jaki sposób przysłużyły się światu – nie tylko w czasach Newtona, ale i w naszych? Wreszcie, jak można te tematy i idee w atrakcyjny i przystępny sposób przekazać czytelnikom dobrej woli, takim jak Herman Wouk, człowiek niezwykle inteligentny, ciekawy świata i mądry, lecz pozbawiony znajomości zaawansowanej matematyki?

Wspominając swoje spotkanie z Feynmanem, Wouk dodał, że przez następne 14 lat nawet nie zaczął zgłębiać rachunku różniczkowego i całkowego. Jego pomysł na wielką powieść przybrał ostatecznie postać aż dwóch wielkich powieści: Wichrów wojny oraz Wojny i pamięci, z których każda liczy sobie jakieś tysiąc stron. Po ich napisaniu Wouk próbował sam się uczyć, czytając książki o takich tytułach jak Calculus Made Easy (Rachunek różniczkowy i całkowy dla początkujących), jednakże bez powodzenia. Zaglądał także do paru podręczników, mając nadzieję, że – jak to powiedział – „któryś z nich pomoże matematycznemu ignorantowi takiemu jak ja, który spędził lata uniwersyteckie na studiowaniu humanistyki, tj. literatury i filozofii, ulegając młodzieńczej pasji poszukiwania sensu istnienia, ale nie wiedząc nic a nic o tym, że rachunek różniczkowy i całkowy – ta piła nikomu do niczego niepotrzebna – jest językiem, którym mówi Bóg”[4]. Gdy podręczniki okazały się ponad jego siły, zaczął pobierać lekcje u izraelskiego nauczyciela matematyki, z nadzieją, że dzięki niemu jednocześnie liźnie trochę rachunku różniczkowego i całkowego oraz poprawi swą sprawność w języku hebrajskim. W obu przypadkach nadzieja okazała się płonna. W końcu, nie widząc innego wyjścia, doszlusował do klasy rachunku różniczkowego i całkowego w szkole średniej, ale szybko odpadł od reszty i po paru miesiącach musiał zrezygnować. Podczas ostatniej lekcji uczniowie zgotowali mu owację. Jak przyznał, były to brawa z litości po pożałowania godnym występie.

Przy pisaniu Potęgi nieskończoności przyświecał mi cel przybliżenia czytelnikom najważniejszych idei i tematów rachunku różniczkowego i całkowego. Nie ma potrzeby uciekać się do prób, jakim poddawał się Herman Wouk, aby zacząć się uczyć o tym kamieniu milowym w historii ludzkości. Rachunek różniczkowy i całkowy jest jednym z najbardziej inspirujących zbiorowych osiągnięć. Nie trzeba uprawiać rachunku różniczkowego i całkowego, aby go cenić, podobnie jak nie trzeba samemu przygotowywać wykwintnych potraw, aby cieszyć się ich smakiem. Wszystko, co będzie nam potrzebne, zamierzam objaśniać za pomocą obrazów, metafor i anegdot. Opiszę także najwspanialsze równania i dowody, jakie kiedykolwiek wymyślono, cóż bowiem jest warta wizyta w galerii, skoro nie widziało się jej najcenniejszych arcydzieł? Gdy piszę te słowa, Herman Wouk ma 103 lata[1*]. Nie wiem, czy do tej pory nauczył się już rachunku różniczkowego i całkowego – jeżeli nie, może ta książka będzie Panu pomocna, Szanowny Panie Wouk.

Świat według rachunku różniczkowego i całkowego

Jak powinno być już oczywiste, moje spojrzenie na dzieje i znaczenie rachunku różniczkowego i całkowego jest właściwe matematykowi zajmującemu się zastosowaniami matematyki. Historyk matematyki przedstawiłby inną opowieść[5]. Podobnie jak matematyk zajmujący się teorią. Jako tak zwanego matematyka stosowanego fascynuje mnie interakcja między otaczającym nas światem rzeczywistym a światem idealnym istniejącym w naszych umysłach. Zjawiska zewnętrzne są natchnieniem dla stawianych przez nas pytań, ale także odwrotnie: stworzona przez nas matematyka jest w stanie przewidywać, co będzie się działo w rzeczywistości. A wtedy skutki mogą być niesamowite.

Matematycy stosowani obserwują uważnie świat i nie boją się przekraczania granic[6]. Dla nas matematyka nie jest nieskazitelnie czystym, hermetycznie zamkniętym światem twierdzeń i dowodów żyjących własnym życiem[7]. Sięgamy do rozmaitych obszarów wiedzy: od filozofii i polityki aż po nauki przyrodnicze, historię, medycynę. Taką opowieść pragnę przedstawić – świat według rachunku różniczkowego i całkowego.

Jest to znacznie szersze widzenie od spotykanego zazwyczaj. Nie pomija licznych kuzynów i potomków rachunku różniczkowego i całkowego, zarówno w obrębie matematyki, jak i w dziedzinach pokrewnych. Ponieważ ta ekumeniczna perspektywa jest dość niekonwencjonalna, pragnę z góry uprzedzić o możliwych nieporozumieniach. Kiedy na przykład pisałem, że bez rachunku różniczkowego i całkowego nie byłoby komputerów, telefonów komórkowych itd., z pewnością nie miałem na myśli tego, że te cuda techniki miałyby zawdzięczać swe istnienie wyłącznie rachunkowi różniczkowemu i całkowemu. Jestem daleki od takiego myślenia. Nauki przyrodnicze i technika były istotnymi partnerami, a zapewne najjaśniej świecącymi gwiazdami tego przedstawienia. Twierdzę jedynie, że rachunek różniczkowy i całkowy również odegrał niepoślednią rolę – choć często wspierającą – w stworzeniu tego świata, który znamy.

Pomyślmy o historii komunikacji bezprzewodowej. Jej początki sięgają odkrycia praw elektryczności i magnetyzmu przez Michaela Faradaya i André-Marie Ampère’a[8]. Bez ich obserwacji i eksperymentów istotne fakty dotyczące magnesów, prądu elektrycznego i ich niewidocznych pól byłyby nadal nieznane, a możliwość komunikacji bezprzewodowej nigdy by się nie ziściła. Tak więc, rzecz jasna, fizyka doświadczalna była tutaj niezbędna.

To samo można jednak powiedzieć o rachunku różniczkowym i całkowym. W latach sześćdziesiątych XIX wieku szkocki fizyk matematyczny James Clerk Maxwell nadał wywiedzionym z doświadczenia prawom elektryczności i magnetyzmu postać symboliczną, która umożliwiła ich obróbkę przez rachunek różniczkowy i całkowy. Rezultatem tego procesu było równanie, które z początku wydawało się pozbawione sensu. Widocznie czegoś brakowało w teorii fizycznej. Maxwell miał podejrzenie, że winne może być prawo Ampère’a. Postanowił je naprawić: wprowadził do niego nowy wyraz – uwzględniający hipotetyczny prąd, który usunął sprzeczność – a potem znowu uruchomił maszynerię rachunku różniczkowego i całkowego. Tym razem otrzymał sensowne, proste i eleganckie równanie falowe, bardzo podobne do tego, które opisuje rozchodzenie się kręgów na powierzchni stawu[9]. Z tym że równanie Maxwella przewidywało teraz istnienie zupełnie nowego rodzaju fali, w której pole elektryczne i pole magnetyczne wykonują taneczny duet. Zmieniające się pole elektryczne wytwarza zmieniające się pole magnetyczne, które z kolei znów rodzi pole elektryczne, i tak dalej, i tak dalej. Jedno pole pcha naprzód drugie i w ten sposób oba propagują się jako fala wędrującej energii. A kiedy Maxwell obliczył prędkość tej fali, stwierdził – co niewątpliwie musiało być jednym z najważniejszych momentów poznawczego olśnienia w historii – że rozchodzi się ona z prędkością światła. Rachunek różniczkowy i całkowy pozwolił mu nie tylko na przewidzenie fal elektromagnetycznych, ale także na rozwiązanie odwiecznej tajemnicy natury światła. Maxwell zrozumiał, że światło jest falą elektromagnetyczną.

Przewidywanie przez Maxwella fal elektromagnetycznych skłoniło w 1887 roku Heinricha Hertza do przeprowadzenia eksperymentu, który wykazał ich istnienie. Dziesięć lat później Nikola Tesla zbudował pierwszy system komunikacji bezprzewodowej, a po kolejnych pięciu latach Guglielmo Marconi nadał pierwszą bezprzewodową wiadomość poprzez Atlantyk. Wkrótce potem nadeszły telewizja, telefony komórkowe i cała znana wszystkim reszta.

Oczywiście rachunek różniczkowy i całkowy nie mógłby dokonać tego samodzielnie. Równie oczywiste jest jednak i to, że nic z tego nie zostałoby zrealizowane bez rachunku różniczkowego i całkowego. Choć może trafniej byłoby powiedzieć, że zostałoby zrealizowane, lecz znacznie później, o ile w ogóle.

Rachunek różniczkowy i całkowy to coś więcej niż język

Historia o Maxwellu daje ilustrację tematu, do którego wielokrotnie będziemy wracać. Często się powiada, że matematyka stanowi język nauk przyrodniczych. Wiele jest w tym prawdy. W przypadku fal elektromagnetycznych kluczowym punktem było przełożenie przez Maxwella praw odkrytych eksperymentalnie na równania wyrażone w języku rachunku różniczkowego i całkowego.

Analogia językowa jest jednak niepełna. Podobnie jak inne gałęzie matematyki rachunek różniczkowy i całkowy jest czymś więcej niż język – jest to także niezmiernie potężny system rozumowania. Pozwala przekształcać jedno równanie na inne w drodze rozmaitych operacji symbolicznych zgodnych z ustalonymi regułami. Reguły te mają głębokie zakorzenienie w logice, dlatego choć może się wydawać, że jedynie manipulujemy symbolami, w rzeczywistości konstruujemy długie łańcuchy logicznych wnioskowań. Manipulowanie symbolami jest tylko wygodnym skrótem, pomocnym w budowie argumentacji zbyt zawiłych, by je trzymać w pamięci.

Jeżeli mamy szczęście i okażemy zręczność – to znaczy jeżeli przekształcimy równania w odpowiedni sposób – możemy dokonać tego, że odsłonią przed nami swe utajone implikacje. Dla matematyka proces ten jest tak realny jak dotyk. Przekształcając równania, robimy im masaż i wprowadzamy je w stan głębokiego odprężenia, w którym będą gotowe wyznać swe sekrety. Pragniemy, by otworzyły się przed nami i opowiedziały o sobie.

Niezbędna jest kreatywność, gdyż często nie wiemy, jakie manipulacje przyniosą pożądany skutek. W przypadku równań Maxwella istniały rozliczne możliwe sposoby ich przekształcania, a każdy byłby logicznie dopuszczalny, lecz tylko niektóre okazałyby się naukowo płodne. Ponieważ Maxwell nie wiedział, czego szuka, bardzo łatwo mogło się zdarzyć, że ze swych równań otrzymałby niezrozumiały bełkot (albo jego symboliczny równoważnik). Na szczęście w równaniach była tajemnica, która czekała na odkrycie. Przy odpowiednim postępowaniu wydały równanie falowe.

W ten sposób językowa strona rachunku różniczkowego i całkowego ponownie doszła do głosu. Kiedy Maxwell przełożył z powrotem abstrakcyjne symbole na rzeczywistość, zobaczył, że elektryczność i magnetyzm rozchodzą się wspólnie z prędkością światła jako fala niewidzialnej energii. W ciągu paru dziesiątek lat odkrycie to zmieniło świat.

Niepojęta skuteczność

Jest czymś niesamowitym, że rachunek różniczkowy i całkowy tak dobrze naśladuje przyrodę, zważywszy na to, jak różne są to światy. Rachunek różniczkowy i całkowy jest wyobraźniowym królestwem symboli i logiki; przyroda jest realnym królestwem sił i zjawisk. Niemniej czasami – jeśli przekład z rzeczywistości na symbole zostanie zręcznie wykonany – logika rachunku różniczkowego i całkowego pozwala wykorzystać jedną prawdę o świecie realnym do generowania innej. Jedna prawda rodzi drugą prawdę. Wychodzimy od czegoś doświadczalnie prawdziwego i sformułowanego za pomocą symboli (u Maxwella były to prawa elektryczności i magnetyzmu), potem stosujemy odpowiednie manipulacje logiczne, aby dostać inną doświadczalną prawdę, być może całkowicie nową, fakt o wszechświecie wcześniej nikomu nieznany (jak istnienie fal elektromagnetycznych). W taki sposób rachunek różniczkowy i całkowy pozwala nam wyglądać w przyszłość i przewidywać nieznane. To sprawia, że jest tak potężnym narzędziem nauk przyrodniczych i techniki.

Dlaczego jednak wszechświat miałby stosować się do wyników jakiejkolwiek logiki, a zwłaszcza takiej, jaką my, znikomi ludzie, byliśmy w stanie opanować? Zdumiewało to już Einsteina, gdy pisał: „Odwieczną tajemnicą wszechświata jest jego poznawalność”[10]. To samo miał na myśli Eugene Wigner, kiedy w eseju Niepojęta skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych pisał: „Stosowność języka matematyki do formułowania praw fizyki jest cudownym darem, którego ani nie rozumiemy, ani nań nie zasługujemy”[11].

To uczucie zdumienia sięga daleko w przeszłość historii matematyki. Zgodnie z legendą znał je Pitagoras około 550 roku p.n.e., gdy wraz z uczniami odkrył, że muzyką rządzą stosunki między liczbami naturalnymi[12]. Wyobraźmy sobie na przykład, że trącamy strunę gitary. Wibrująca struna wydaje pewną nutę. A teraz połóżmy palec na progu gitary na środku struny i znów ją trąćmy. Drgająca połowa struny ma obecnie połowę poprzedniej długości – stosunek 1 : 2 – i wydaje nutę dokładnie o oktawę wyższą od pierwszej (odległość muzyczna od jednego do do kolejnego w skali do-re-mi-fa-sol-la-si-do). Jeśli zaś drgająca struna ma 2∕3 długości pierwszej struny, to wydawany przez nią dźwięk podnosi się o kwintę (interwał od do do sol; przypomnijmy sobie dwie pierwsze nuty tematu z Gwiezdnych wojen). A jeśli wibrująca część ma 3∕4 początkowej długości, to dźwięk podnosi się o kwartę (interwał między pierwszymi dwiema nutami Marsza weselnego Mendelssohna). Starożytni muzycy greccy znali pojęcia oktawy, kwarty i kwinty i uważali, że są one piękne. Nieoczekiwane powiązanie pomiędzy muzyką (harmonią realnego świata) i liczbami (harmonią świata wyobraźniowego) doprowadziło pitagorejczyków do mistycznego przekonania, że wszystko jest liczbą[13]. Podobno wierzyli, że nawet planety na swych orbitach tworzą muzykę: muzykę sfer.

Od tamtej pory wielu wybitnych matematyków i przedstawicieli nauk przyrodniczych zapadało na pitagorejską chorobę. Astronom Johannes Kepler cierpiał na jej ostry przypadek. Podobnie fizyk Paul Dirac. Jak zobaczymy, choroba ta popychała ich do badań, marzeń i tęsknoty za harmonią wszechświata. W końcu odpowiada za ich własne odkrycia, które przeobraziły świat.

Zasada nieskończoności

Aby czytelnik lepiej rozumiał, dokąd w tej książce zmierzamy, pragnę powiedzieć parę słów o tym, czym jest rachunek różniczkowy i całkowy, jakie są jego pragnienia (mówiąc metaforycznie) i co odróżnia go od innych gałęzi matematyki. Na szczęście tylko jedna wielka i piękna idea przenika go od początku do końca. Gdy ją pojmiemy, cała struktura tego przedmiotu okaże się wariacjami na jeden i ten sam temat.

Większość kursów rachunku różniczkowego i całkowego zagrzebuje jednak ten jednolity temat pod górą wzorów, procedur i rachunkowych trików. Prawdę mówiąc, jeszcze nigdy nie widziałem, aby go gdzieś wyjaśniano, nawet jeśli należy on do kultury rachunku różniczkowego i całkowego i każdy ekspert intuicyjnie jest z nim obeznany. Nazwijmy go zasadą nieskończoności. Będzie ona naszym przewodnikiem, tak jak przewodziła rozwojowi rachunku różniczkowego i całkowego zarówno z punktu widzenia pojęciowego, jak i historycznego. Mam pokusę, by ją od razu przedstawić, ale obawiam się, że na razie zabrzmi jak puste zaklęcie. Łatwiej będzie ją zrozumieć, jeżeli zaczniemy od odpowiedzi na pytanie o to, czego rachunek różniczkowy i całkowy pragnie i jak to osiąga.

Mówiąc skrótowo, rachunek różniczkowy i całkowy pragnie zamieniać trudne problemy na prostsze. Ma prawdziwą obsesję na punkcie prostoty. Może to się wydawać dziwne, zważywszy na to, że rachunek różniczkowy i całkowy uchodzi za przedmiot zawiły. Nie da się również zaprzeczyć, że niektóre najlepsze podręczniki mają ponad tysiąc stron i ciężar cegły. Nie osądzajmy jednak zbyt szybko. To nie wina rachunku różniczkowego i całkowego, że tak się prezentuje. Jego objętość jest czymś nieuniknionym. Robi wrażenie zawiłego, gdyż mierzy się ze złożonymi problemami. W istocie sprostał jednym z najtrudniejszych i najdonioślejszych problemów, przed którymi stawała ludzkość.

Rachunek różniczkowy i całkowy dochodził do swych sukcesów dzięki rozkładaniu złożonych problemów na prostsze części. Oczywiście taka strategia nie jest wyłączną własnością rachunku różniczkowego i całkowego. Każdy, kto zajmuje się rozwiązywaniem problemów, wie, że trudne problemy stają się łatwiejsze po rozbiciu na mniejsze kawałki. Prawdziwie radykalna i charakterystyczna strategia rachunku różniczkowego i całkowego polega na tym, że zasadę „dziel i rządź” doprowadził do ostateczności – i zaszedł w tym aż do nieskończoności. Zamiast rozdrabniać wielki problem na parę dających się połknąć kęsów, rozkłada on go nieubłaganie tak długo, aż problem zostanie rozbity na najmniejsze możliwe kawałki, a wtedy jest ich już nieskończenie wiele. Po dokonaniu tego rozwiązuje pierwotny problem dla wszystkich tych maleńkich kawałków, co stanowi zwykle już znacznie łatwiejsze zadanie od rozwiązania wyjściowego ogromnego problemu. Pozostaje jeszcze tylko złożyć razem te wszystkie maleńkie rozwiązania. Na ogół jest to krok znacznie trudniejszy, ale nie tak trudny jak początkowy problem.

A zatem rachunek różniczkowy i całkowy dwuetapowo posuwa się naprzód: najpierw rozkłada, potem odtwarza. W sensie matematycznym rozkładanie obejmuje zawsze nieskończenie małe odejmowania, które służą do wyznaczania różnic między częściami. Dlatego ta połowa przedmiotu nosi nazwę rachunku różniczkowego. Ponowne łączenie obejmuje zawsze nieskończone dodawanie, które scala części na powrót w wyjściową całość. Ta połowa przedmiotu nazywana jest rachunkiem całkowym.

Strategia taka może być użyta do wszelkich rzeczy, które da się dzielić bez końca. Tego rodzaju nieskończenie podzielne obiekty noszą nazwę kontinuów (od łacińskich con, co oznacza „razem” lub „łącznie”, i tenere, co oznacza „trzymać się”) i powiada się o nich, że są ciągłe, czyli wolne od luk lub przerw. Pomyślmy o łuku okręgu, stalowym dźwigarze wiszącego mostu, talerzu zupy stygnącej na kuchennym stole, parabolicznej trajektorii lotu oszczepu albo czasie naszego życia. Kształt, rzecz, ciecz, ruch, przedział czasowy – wszystko to są potencjalne przedmioty dla rachunku różniczkowego i całkowego. Wszystko to jest ciągłe lub niemal ciągłe.

Zwróćmy uwagę na ten akt twórczego zmyślenia. Zupa i stal nie są naprawdę ciągłe. W skali codziennego życia takie się wydają, lecz w skali atomów lub superstrun takie nie są. Rachunek różniczkowy i całkowy abstrahuje od niedogodności związanych z atomami i innymi niepodzielnymi bytami – nie dlatego, żeby one naprawdę nie istniały, ale dlatego, że korzystnie jest udawać, że nie istnieją. Jak się dalej przekonamy, rachunek różniczkowy i całkowy ma upodobanie do użytecznej fikcji.

Mówiąc ogólnie, byty, które rachunek różniczkowy i całkowy modeluje jako kontinua, obejmują praktycznie wszystko, co możemy sobie wymyślić. Rachunek różniczkowy i całkowy był używany do opisu tego, jak kula w sposób ciągły toczy się po równi pochyłej, jak promień światła w sposób ciągły przemieszcza się w wodzie, jak ciągły strumień powietrza wokół skrzydła utrzymuje w locie kolibra albo statek powietrzny oraz jak stężenie cząsteczek wirusa HIV w układzie krwionośnym pacjenta w sposób ciągły maleje po zastosowaniu kombinowanej terapii antyretrowirusowej. W każdym przypadku strategia jest taka sama: rozbijamy złożony, ale ciągły problem na nieskończenie wiele prostszych kawałków, następnie rozwiązujemy je osobno i składamy z powrotem.

Teraz jesteśmy już gotowi do wypowiedzenia wielkiej idei:

Zasada nieskończoności

Aby wyjaśnić ciągły kształt, rzecz, ruch, proces lub zjawisko – bez względu na to, jak dziwaczne i złożone mogą się wydawać – należy je sobie przedstawić jako nieskończony ciąg prostszych części, zanalizować je, a potem zsumować z powrotem wyniki w celu zrozumienia wyjściowej całości.

Golem nieskończoności

W tym wszystkim tkwi trudność polegająca na tym, że musimy borykać się z nieskończonością. Łatwiej się to mówi, niż robi. Choć ściśle kontrolowane użycie nieskończoności jest kluczem do rachunku różniczkowego i całkowego oraz źródłem jego niezwykłej mocy przewidywania, jest ono także największym jego utrapieniem. Niczym potwór Frankensteina albo Golem z żydowskiego folkloru, nieskończoność czasami wymyka się spod kontroli. I jak w każdej historii o nieposkromionej pysze – potwór nieuchronnie zwraca się przeciwko swemu panu.

Twórcy rachunku różniczkowego i całkowego zdawali sobie sprawę z tego niebezpieczeństwa, mimo wszystko jednak nie umieli się oprzeć powabowi nieskończoności. Oczywiście od czasu do czasu zrywała się z uwięzi, siejąc na swej drodze paradoksy, niejasności i filozoficzne spustoszenie. Ale po każdym takim wybryku matematykom udawało się okiełznać potwora, ucywilizować jego zachowanie i znów zaprząc do pożytecznej pracy. Ostatecznie wszystko zawsze obracało się na dobre. Rachunek różniczkowy i całkowy dawał poprawne odpowiedzi, nawet jeśli jego twórcy nie umieli wyjaśnić dlaczego. Pragnienie poskromienia nieskończoności i zawładnięcia jego mocą jest motywem przewijającym się przez całą dwuipółtysiącletnią historię rachunku różniczkowego i całkowego.

Ta opowieść o pragnieniu i przeszkodach może się wydać nie na miejscu, zważywszy na to, że matematykę przedstawia się zwykle jako ścisłą dziedzinę o nieskazitelnej racjonalności. To prawda, że jest ona racjonalna, ale nie od samego początku. Twórczość kieruje się intuicją; rozum przychodzi później. W historii rachunku różniczkowego i całkowego, bardziej niż innych gałęzi matematyki, logika zawsze szła w ślad za natchnieniem.

Krzywe, ruch i zmiana

Zasada nieskończoności organizuje historię rachunku różniczkowego i całkowego wokół pewnego wątku metodologicznego. Tymczasem w rachunku różniczkowym i całkowym chodzi tyleż o zagadki, ile o metodologię. Jego rozwój napędzały trzy naczelne tajemnice: tajemnica krzywych, tajemnica ruchu oraz tajemnica zmiany.

Owoce wydane przez te tajemnice świadczą o wartości bezinteresownej ciekawości. Problemy krzywych, ruchu i zmiany przy pierwszym wejrzeniu mogą się wydawać mało istotne, a może nawet beznadziejnie ezoteryczne. Ponieważ jednak prowadzą do intelektualnie głębokich zagadnień i ponieważ matematyka jest mocno wpleciona w strukturę wszechświata, rozwiązywanie tych tajemnic wywarło potężny wpływ na losy cywilizacji i życie codzienne każdego z nas. Jak się przekonamy, korzystamy z tych badań, gdy słuchamy muzyki z telefonów, bezproblemowo robimy zakupy w supermarkecie dzięki laserowemu czytnikowi kasowemu albo odnajdujemy drogę do domu za pomocą nawigacji satelitarnej.

Wszystko zaczęło się od tajemnicy krzywych. Używam w tym miejscu terminu „krzywa” w sensie bardzo ogólnym, mając na myśli wszelkiego rodzaju linie krzywe, zakrzywione powierzchnie i zakrzywione bryły – jak choćby gumowe taśmy, pierścionki ślubne, bańki na powierzchni cieczy, kontury wazy czy walcowaty kształt salami. Poszukując prostoty, pierwsi geometrzy koncentrowali się na abstrakcyjnych, wyidealizowanych wersjach zakrzywionych kształtów, a pomijali grubość, chropowatość i fakturę. Na przykład powierzchnię kuli wyobrażano sobie jako nieskończenie cienką, doskonale gładką i zaokrągloną membranę bez zgrubień, nierówności czy włoskowatości, powiedzmy, skorupy orzecha kokosowego. Nawet przy tych idealizacyjnych założeniach zakrzywione kształty sprawiały wielkie trudności pojęciowe, albowiem nie składały się z prostych części. Trójkąty i kwadraty są łatwe. Podobnie sześciany. Zbudowane są z odcinków i płaskich fragmentów płaszczyzny połączonych w niewielkiej liczbie rogów. Nie jest trudno obliczać ich obwody, pola powierzchni i objętości. Geometrzy całego świata – starożytnych Babilonii i Egiptu, Chin i Indii, Grecji i Japonii – wiedzieli, jak się rozwiązuje problemy tego typu. Ale przedmioty okrągłe są bardziej złośliwe. Nikt nie umiał obliczyć, jakie jest pole powierzchni lub objętość kuli. Już znalezienie obwodu i pola powierzchni koła było w tamtych czasach nierozwiązywalnym problemem. Nie było jasne, jak się do tego zabrać. Brakowało prostych części, od których można by wyjść. To, co miało zakrzywienia, wydawało się niezrozumiałe.

I wtedy narodził się rachunek różniczkowy i całkowy. Wziął się on z ciekawości geometrów i ich zniecierpliwienia okrągłością. Koła, kule i inne zakrzywione kształty to były Himalaje tamtej epoki. Nie chodziło o to, że wiążą się z ważnymi problemami praktycznymi – przynajmniej na początku nie było to oczywiste. Chodziło jedynie o ludzkie pragnienie zaznania intelektualnej przygody. Tak jak alpiniści wchodzący na Mount Everest, geometrzy postanowili rozwiązać tajemnicę krzywych, bo po prostu istniała.

Przełom nastąpił dlatego, że uparcie chciano widzieć krzywe jako złożone z prostych części. Nie była to prawda, ale można było udawać, że tak jest. Jedyna trudność polegała na tym, że w takim przypadku części te musiały być nieskończenie małe i musiało ich być nieskończenie wiele. Z tak fantastycznego pomysłu narodził się rachunek całkowy. Jest to najwcześniejszy przykład wykorzystania zasady nieskończoności. Historia tego odkrycia będzie nas zajmować przez parę rozdziałów, ale jego istota była obecna już od samego początku w tej prostej, naturalnej intuicji: jeżeli wystarczająco powiększymy okrąg (lub cokolwiek innego, co ma zakrzywiony i gładki kształt), część, która znajduje się pod mikroskopem, pokaże się prosta i płaska. A zatem przynajmniej zasadniczo powinno być możliwe obliczenie wszelkich własności zakrzywionego kształtu przez sumowanie tych prostych części. Ustalenie dokładnego sposobu, jak tego dokonywać – a nie było to banalne – wymagało pracy największych matematyków w ciągu wielu wieków. Wspólnie – niekiedy w zaciętej rywalizacji – zaczęli robić postępy ku rozwiązaniu zagadki krzywych. Produktem ubocznym, jak zobaczymy w rozdziale 2, były procedury matematyczne potrzebne do projektowania realistycznych włosów, ubrań i wizerunków bohaterów animacji komputerowych, a także obliczenia niezbędne do tego, by chirurdzy mogli przeprowadzać operacje na twarzy wirtualnego pacjenta, zanim przeprowadzą je na żywym pacjencie.

Wyścig do rozwiązania tajemnicy krzywych dotarł do punktu kulminacyjnego, gdy okazało się, że krzywe to coś więcej niż geometryczne ciekawostki. Są kluczem do zrozumienia sekretów przyrody. Pojawiały się w sposób naturalny w parabolicznej trajektorii lotu pocisków, w eliptycznej orbicie Marsa krążącego wokół Słońca oraz w wypukłym kształcie soczewek, które uginają i skupiają światło tam, gdzie to jest potrzebne, co znalazło zastosowanie w stawiającej pierwsze kroki produkcji mikroskopów i lunet w Europie późnego renesansu.

W taki sposób zrodziła się druga wielka obsesja: zainteresowanie tajemnicami ruchu na Ziemi i w Układzie Słonecznym. Dzięki uważnej obserwacji i pomysłowym eksperymentom naukowcy zaczęli odkrywać intrygujące zależności liczbowe w najprostszych poruszających się ciałach. Dokonywali pomiarów regularnego drgania wahadła, coraz szybszego toczenia się kuli po równi pochyłej i dostojnego pochodu planet po nieboskłonie. Zależności, które odkryli, wzbudzały ich zachwyt – Johannes Kepler popadł w „święty szał”, jak sam notował, gdy zapisał prawa ruchu planet, gdyż regularności te wydały mu się oznakami działalności Boga. Z perspektywy świeckiej te regularności wspierały przekonanie, że przyroda jest głęboko matematyczna, tak jak twierdzili pitagorejczycy. Kłopotliwe było tylko to, że nikt nie umiał wyjaśnić tych cudownych nowych zależności, a przynajmniej nie za pomocą dotychczas istniejącej matematyki. Arytmetyka i geometria były dalece niewystarczające nawet w rękach wybitnych matematyków.

Chodziło o to, że ruch nie był stały. Kula staczająca się po równi pochyłej zmieniała prędkość, a planeta obracająca się wokół Słońca zmieniała kierunek ruchu. Co gorsza, planety przyśpieszały, gdy zbliżały się do Słońca, a spowalniały, gdy się od niego oddalały. Nie istniał przyjęty sposób traktowania ruchu, który w ciągle nowy sposób się zmieniał. Wcześniejsi matematycy ustalili zasady trywialnego rodzaju ruchu ze stałą prędkością, w którym pokonana droga jest równa iloczynowi prędkości i czasu. Tam jednak, gdzie prędkość zmienia się w sposób ciągły, matematycy byli bezradni. Okazało się, że ruch jest intelektualnym Mount Everestem, takim samym jak krzywe.

Jak zobaczymy w środkowych rozdziałach tej książki, kolejne milowe kroki w rachunku różniczkowym i całkowym zostaną uczynione w związku z dążeniem do rozwiązania tajemnicy ruchu. Znów na ratunek przyjdzie zasada nieskończoności, tak samo jak to było w przypadku krzywych. Tym razem dogodny wymysł polegał na założeniu, że ruch o zmieniającej się prędkości składa się z nieskończenie wielu nieskończenie krótkich ruchów o stałej prędkości. Wyobraźmy sobie, że siedzimy w fotelu pasażera samochodu prowadzonego przez kierowcę o gwałtownych reakcjach. Gdy z niepokojem patrzymy na prędkościomierz, widzimy, że strzałka raptownie skacze tam i z powrotem z każdą raptowną reakcją kierowcy. Niemniej przez jedną milisekundę nawet kierowca o najgwałtowniejszych reakcjach nie umie spowodować, by wskazówka prędkościomierza znacznie się poruszyła. A przez czas jeszcze krótszy – nieskończenie krótki – wskazówka w ogóle nie ma szansy się poruszyć. Nikt nie potrafi tak szybko wciskać pedału gazu.

Te idee skrystalizowały się w młodszej połowie rachunku różniczkowego i całkowego – w rachunku różniczkowym. Była ona potrzebna do pracy z nieskończenie małymi zmianami czasu i drogi występującymi przy rozważaniu ruchu zmiennego, a także z nieskończenie małymi prostymi odcinkami krzywych w geometrii analitycznej, tej zupełnie nowej nauce o krzywych określonych równaniami algebraicznymi, która wzbudzała zachwyty w pierwszej połowie XVII wieku. Istotnie, był taki czas, kiedy algebra porywała serca i umysły, jak jeszcze zobaczymy. Jej popularność oddała korzyści wszystkim gałęziom matematyki, w tym geometrii, lecz doprowadziła także do rozrostu dżungli nowych krzywych, które trzeba było zbadać. Tak więc tajemnice krzywych i tajemnice ruchu zbiegły się ze sobą. W połowie XVII wieku stały się głównym przedmiotem zainteresowania matematyków, ocierając się o siebie i rodząc intelektualny ferment. Z tego zamieszania zaczął powoli wyłaniać się rachunek różniczkowy – jednakże nie bez kontrowersji. Krytykowano niektórych matematyków za nazbyt nonszalancki stosunek do nieskończoności. Szydzono z algebry jako gąszczu symboli bez treści. Przy taki sporach postęp musiał być chwiejny i powolny.

I wówczas, w dzień Bożego Narodzenia, przyszło na świat dziecko. Nic nie zapowiadało, że będzie to przyszły mesjasz rachunku różniczkowego i całkowego. Gdy się przedwcześnie urodził, jego ojciec już nie żył. Matka go porzuciła, kiedy miał trzy lata. Był samotnym chłopcem, posępnie usposobionym, który wyrósł na nieufnego i skrytego młodzieńca. A jednak Isaac Newton wpłynął na losy świata tak jak nikt inny ani wcześniej, ani później.

Po pierwsze, znalazł Świętego Graala rachunku różniczkowego i całkowego: odkrył, jak składać z powrotem części krzywej – i jak robić to łatwo, sprawnie i metodycznie. Wiążąc symbole algebry z potęgą nieskończoności, opracował sposób przedstawiania dowolnej krzywej jako sumy nieskończenie wielu prostszych krzywych opisanych potęgami zmiennej x, jak x^2, x^3, x^4 i tak dalej. Z tych składników mógł przygotować dowolną krzywą, jakiej zapragnął, biorąc szczyptę x, kilka kropel x^2 i łyżkę stołową x^3. Wyglądało to jak przepis kucharski, uniwersalny zestaw przypraw, masarnia i jeszcze ogród warzywny w jednym. W ten sposób Newton mógł rozwiązać każdy problem dotyczący kształtów i ruchu, o jakim kiedykolwiek myślano.

W następnej kolejności złamał kod wszechświata. Odkrył, że wszelki ruch postępuje naprzód nieskończenie małymi kroczkami, kierowany z chwili na chwilę matematycznymi prawami wyrażonymi w języku rachunku różniczkowego i całkowego. Przy użyciu paru równań różniczkowych (praw ruchu i powszechnego ciążenia) był w stanie wszystko wyjaśnić – od łuku kuli armatniej po orbity planet. Jego zdumiewający „system świata” powiązał niebo z ziemią, dał bodziec epoce oświecenia i zmienił kulturę Zachodu. Jak zobaczymy, wywarł nawet wpływ na Thomasa Jeffersona i Deklarację niepodległości Stanów Zjednoczonych. W naszych czasach idee Newtona pozwoliły na realizację programu badań kosmicznych, dostarczając matematycznych narzędzi potrzebnych do zaprojektowania trajektorii lotu – czego dla NASA dokonała afroamerykańska matematyczka Katherine Johnson z koleżankami (bohaterki książki i hitu kinowego Ukryte działania).

Po rozwiązaniu tajemnicy krzywych oraz ruchu rachunek różniczkowy i całkowy przeszedł do swej trzeciej życiowej obsesji: tajemnicy zmiany. Jest to banał, ale niewątpliwie prawdziwy, że tylko zmiana jest stała. Jednego dnia pada, drugiego świeci słońce. Wskaźniki giełdowe raz rosną, innym razem spadają. Ośmieleni powodzeniem newtonowskiego paradygmatu, kolejni adepci rachunku różniczkowego i całkowego zaczęli zadawać pytanie: czy istnieją prawa zmiany analogiczne do praw ruchu Newtona? Czy istnieją prawa przyrostu populacji, szerzenia się chorób lub przepływu krwi przez tętnice? Czy da się użyć rachunku różniczkowego i całkowego do opisu rozchodzenia się sygnałów elektrycznych w układzie nerwowym lub do przewidywania strumieni pojazdów na autostradach?

Wypełniając ten ambitny program – zawsze we współpracy z innymi dziedzinami nauki i techniką – rachunek różniczkowy i całkowy przyczynił się do powstania nowoczesnego świata. Z pomocą obserwacji i eksperymentów naukowcy wykrywali prawa zmiany, a potem wykorzystując rachunek różniczkowy i całkowy, przewidywali zdarzenia. Na przykład w 1917 roku Albert Einstein zastosował rachunek różniczkowy i całkowy do prostego modelu przejść atomowych, co pozwoliło na przewidzenie niezwykłego efektu emisji stymulowanej (na którą wskazują litery s i e w terminie laser – od light amplification by stimulated emission of radiation, wzmocnienie światła poprzez stymulowaną emisję promieniowania)[14]. Einstein postawił hipotezę, że w pewnych warunkach przechodzące przez materię światło może pobudzać wytwarzanie innego światła o tej samej długości fali rozchodzącego się w tym samym kierunku, prowadząc do kaskady światła na zasadzie pewnego rodzaju reakcji łańcuchowej, w czego wyniku wytwarzane jest intensywne, spójne promieniowanie. Kilkadziesiąt lat później przewidywanie to się potwierdziło. Pierwsze działające lasery zbudowano na początku lat sześćdziesiątych. Od tamtej pory stosuje się je wszędzie – od odtwarzaczy płyt kompaktowych i sterowanych laserowo pocisków po sklepowe czytniki kodów paskowych i lasery medyczne.

Prawa zmiany w medycynie nie zostały tak dobrze zrozumiane jak w fizyce. Ale nawet w zastosowaniu do całkiem prostych modeli rachunek różniczkowy i całkowy przyczynił się do ratowania życia. W rozdziale 8 zobaczymy na przykład, jak model oparty na pewnym równaniu różniczkowym, opracowany przez jednego immunologa i jednego badacza specjalizującego się w AIDS, odegrał istotną rolę w opracowaniu trójlekowej kombinowanej terapii dla pacjentów zakażonych HIV. Przewidywania oparte na tym modelu podważyły panujący pogląd, że wirus HIV bytuje w organizmie w postaci uśpionej; w rzeczywistości w każdej chwili toczy on bezwzględną walkę z układem odpornościowym nosiciela. Dzięki nowej wiedzy, którą pomógł osiągnąć rachunek różniczkowy i całkowy, zakażenie wirusem HIV z prawie pewnego wyroku śmierci zamieniło się w umożliwiającą normalne życie chorobę przewlekłą – w każdym razie dla pacjentów z dostępem do kombinowanej terapii antyretrowirusowej.

Trzeba przyznać, że pewne aspekty naszego ciągle zmieniającego się świata nie dają się uchwycić przez przybliżenia i myślenie życzeniowe, nieodłączne od zasady nieskończoności. Na przykład na poziomie subatomowym fizycy nie rozważają już elektronu jako klasycznej cząstki poruszającej się po gładkim torze podobnym do toru planety lub kuli armatniej. Według mechaniki kwantowej w skali mikroskopowej trajektorie stają się rozedrgane, zamazane i źle zdefiniowane, dlatego jesteśmy zmuszeni opisywać zachowanie elektronów za pomocą fal prawdopodobieństwa, a nie newtonowskich trajektorii. Kiedy jednak tak uczynimy, rachunek różniczkowy i całkowy triumfalnie powraca. Zarządza on ewolucją fal prawdopodobieństwa poprzez tak zwane równanie Schrödingera.

Brzmi to niewiarygodnie, a jednak jest prawdą: nawet na poziomie subatomowym, gdzie załamuje się fizyka newtonowska, newtonowski rachunek różniczkowy i całkowy w dalszym ciągu działa. I to działa wyśmienicie. Jak przeczytamy w tej książce, rachunek różniczkowy i całkowy sprzymierzył się z mechaniką kwantową i przewidział nadzwyczajne efekty tkwiące u podłoża diagnostyki obrazowej – od obrazowania metodą rezonansu magnetycznego i tomografii komputerowej po bardziej egzotyczną pozytonową tomografię emisyjną.

Czas już jednak na dokładniejsze przyjrzenie się językowi wszechświata. Rzecz jasna, rozpoczniemy w miejscu najbardziej odpowiednim, to jest w nieskończoności.

Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki

∞

Przypisy

Wstęp

[1] Wouk, The Language God Talks, 5.

[2] Perspektywę fizyczną ukazują: Barrow, Tipler, Anthropic Cosmological Principle; Rees, Tylko sześć liczb; Davies, Kosmiczna wygrana; Livio, Is God a Mathematician?; Tegmark, Nasz matematyczny Wszechświat; oraz Carroll, The Big Picture. Perspektywę filozoficzną znajdziemy w: S. Friederich, Fine-Tuning, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/archives/spr2018/entries/fine-tuning/.

[3] Adams, Hitchhiker’s Guide, i Gill, Douglas Adams’ Amazingly Accurate Answer.

[4] Wouk, The Language God Talks, 6.

[5] Historyczne ujęcie można znaleźć w: Boyer, The History of the Calculus, oraz Grattan-Guinness, From the Calculus; Dunham, The Calculus Gallery; Edwards, The Historical Development, oraz Simmons, Calculus Gems, opowiadają historię rachunku różniczkowego i całkowego poprzez jego wybrane najpiękniejsze problemy i rozwiązania.

[6] Stewart, 17 równań; Higham et al., The Princeton Companion; oraz Goriely, Applied Mathematics, ukazują ducha, rozmach i żywotność matematyki stosowanej.

[7] Kline, Mathematics in Western Culture, oraz Newman, The World of Mathematics, ukazują związki matematyki z kulturą w ogóle. Spędziłem wiele godzin w szkole średniej na lekturze tych dwóch arcydzieł.

[8] O matematyce i fizyce można przeczytać w: Maxwell, On Physical Lines of Force, oraz Purcell, Elektryczność i magnetyzm. Na temat konceptów i historii piszą: Kline, Mathematics in Western Culture, 304–321; Schaffer, The Laird of Physics; i Stewart, 17 równań, rozdz. 11. Biografie Maxwella i Faradaya: Forbes, Mahon, Faraday, Maxwell.

[9] Stewart, 17 równań, rozdz. 8.

[10] Einstein, Physics and Reality, 51. Aforyzm ten jest często podawany w postaci: „Najbardziej niezrozumiałą własnością wszechświata jest jego zrozumiałość”. Inne przykłady cytatów z Einsteina, zarówno autentycznych, jak i zmyślonych, można znaleźć w: Calaprice, Einstein w cytatach, oraz Robinson, Einstein Said That.

[11] Wigner, Niepojęta skuteczność; Hamming, The Unreasonable Effectiveness; oraz Livio, Is God a Mathematician?

[12] Asimov, Asimov’s Biographical Encyclopedia, 4–5; Burkert, Lore and Science; Guthrie, Pythagorean Sourcebook; oraz C. Huffman, Pythagoras, https://plato.stanford.edu/archives/sum2014/entries/pythagoras/. Martínez, Cult of Pythagoras i Science Secrets, ze wspaniałą lekkością pióra i nieodpartym humorem obala wiele mitów na temat Pitagorasa.

[13] Katz, History of Mathematics, 48–51, i Burton, History of Mathematics, ust. 3.2, omawiają matematykę i filozofię pitagorejską.

[14] Ball, A Century Ago Einstein Sparked, i Pais, Pan Bóg jest wyrafinowany. Oryginalny artykuł Einsteina: Zur Quantentheorie der Strahlung.

[1*] Herman Wouk zmarł 17 maja 2019 roku (przyp. tłum.).