Marysi B.-B.

Recenzenci

Prof. dr hab. inż. Tadeusz Burczyński

Prof. dr hab. inż. Paweł Dłużewski

Prof. dr hab. inż. Wacław Szcześniak

Wykonanie okładki i stron tytułowych

Przemysław Spiechowski

Wydawca

Izabela Jaźwińska

Redakcja

Mirella Hess-Remuszko

Korekta

Hanna Trubicka

Koordynator produkcji

Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN S.A.:
Michał Latusek

Publikacja została sfinansowana przez Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie.

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2025

ISBN 978-83-01-24101-8

DOI https://doi.org/10.53271/2025.028

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2025 r. (Wydanie II, poprawione)

Warszawa 2025

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288

infolinia: 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.pl

www.pwn.pl

Wstęp

Przedstawiony materiał pomyślany jest jako metodyczny zbiór całkowicie rozwiązanych zadań z mechaniki ogólnej z wykorzystaniem rachunku wektorowego.

Rozwiązania w każdym rozdziale zostały poprzedzone krótkim wstępem podającym wzory i przyjęte oznaczenia. Ostatni rozdział zawiera wiele zadań do samodzielnego rozwiązania, wraz z podanymi odpowiedziami. Nie sugerujemy Czytelnikowi podpowiedzi odnośnie do sposobu i metodyki rozwiązania zadań, celowo zgromadzonych w jednym miejscu.

Nie przedstawiono osobno rozdziału traktującego o metodach wykreślnych, coraz bardziej wypieranych przez metody komputerowe. Poza tym metody te można znaleźć w nieomal każdej książce z mechaniki ogólnej; nie ma więc potrzeby ich przepisywania.

Całość materiału poprzedzono obszernym wstępem z rachunku wektorowego. Uważamy, że opanowanie podstawowych operacji matematycznych na wektorach jest warunkiem koniecznym do zrozumienia zagadnień mechaniki i w konsekwencji do nabycia umiejętności rozwiązywania zadań. Materiał przedstawiono w sposób umożliwiający bezpośrednie zastosowanie programów wspomagających obliczenia matematyczne (MATHCAD, MATHEMATICA, MATLAB, MAPLE i innych) jako prostych w obsłudze pakietów, które umożliwiają łatwe otrzymywanie wartości liczbowych, jak również pozwalają na działania symboliczne w celu otrzymania rozwiązania w postaci wzorów analitycznych.

Zbiór zadań może być wykorzystany przez studentów uczelni technicznych, studiujących w trybie dziennym i zaocznym na kierunkach mechanicznych (mechanika, budowa maszyn, automatyka i robotyka, oceanotechnika), transporcie, informatyce oraz budownictwie i architekturze.

Na koniec przyjemny obowiązek. Dziękuję Rektorowi Zachodniopomorskiego Uniwersytetu Technologicznego w Szczecinie Panu dr hab. inż. Jackowi Wróblowi za przyznanie środków na wydanie książki. Dziękuję recenzentom książki, Panom Profesorom: Tadeuszowi Burczyńskiemu, Wacławowi Szcześniakowi i Pawłowi Dłużewskiemu za przyjęcie recenzji i napisanie uwag krytycznych. Dziękuję Pani Redaktor Izabeli Jaźwińskiej (PWN) za bardzo dobrą wieloletnią współpracę, Panu Grzegorzowi Urawskiemu za bardzo staranne sporządzenie rysunków i moim najbliższym za nieustanne wsparcie.

ROZDZIAŁ 1:

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO

1.1. Pojęcia podstawowe. Skalary i wektory

Jedną z metod klasyfikacji wielkości fizycznych jest metoda oparta na zasadzie wyznaczenia ilości przy ustalonej jednostce miary. Jeżeli do wyznaczenia określonej wielkości wystarczy jedna liczba, wielkości te nazywamy wielkościami skalarnymi, a liczby je wyznaczające skalarami, gdyż można im przyporządkować punkty pewnej skali. Do skalarów należą m.in. temperatura, gęstość, energia, potencjał. Skalarem jest również długość wektora. Mówimy też, że takie wielkości są niezmiennikami, co oznacza, że są one niezależne od zmiany osi układu współrzędnych, np. w wyniku obrotu układu.

Inne wielkości, np. prędkość, przyspieszenie, siła, moment, nie mogą być wyznaczone jednoznacznie przez ich miary. Ich działanie zależy jeszcze od kierunku i zwrotu. Takie wielkości nazywamy wielkościami wektorowymi. Wielkości wektorowe można przedstawić za pomocą odcinka o pewnej długości i kierunku.

Wielkości wektorowe reprezentujące wielkości fizyczne oprócz podanych trzech cech (długość wektora, kierunek i zwrot) powinny mieć określone w danej przestrzeni położenie. Z tego względu wektory dzielimy na trzy grupy: (i) wektory swobodne, (ii) wektory posuwne (ślizgające się) i (iii) wektory zaczepione. Wektory swobodne reprezentują wielkości fizyczne bez określenia ich położenia w przestrzeni. Przykładem może być wektor przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia ciała sztywnego w jego ruchu postępowym. Wszystkie punkty ciała sztywnego mają te same cechy fizyczne (takie samo przemieszczenie, przyspieszenie i tę samą prędkość), niezależnie od punktu przyłożenia.

Wektory posuwne określają poprawnie wielkość fizyczną, gdy leżą na jednej prostej. Przykładem jest wektor siły. Działanie wektora siły nie zmieni się, jeżeli przyłożymy go w dowolnym miejscu w kierunku działania wektora. Wektory zaczepione mają określony punkt przyłożenia. Przykładem może być wektor przemieszczenia określonego punktu deformującego się ciała, wektory prędkości lub przemieszczenia określonego punktu ciała sztywnego w jego ruchu dowolnym.

Podane rozróżnienie wektorów w mechanice ma istotne znaczenie, a zakwalifikowanie dowolnego wektora do niewłaściwej grupy z zachowaniem trzech podstawowych cech wektora (wartość, kierunek i zwrot) może prowadzić do błędnej interpretacji fizycznej działań matematycznych na wektorach. Wektory są równoważne, jeżeli przedstawiają tę samą wielkość wektorową. Dwa wektory swobodne są zawsze równoważne. Wektory posuwne są równoważne, jeżeli leżą na tej samej prostej. Wektory zaczepione są równoważne, jeżeli są przyłożone do tego samego punktu.

1.2. Oznaczenie wektorów. Dodawanie wektorów

Wektorem (dokładnie wektorem zaczepionym) o początku A i końcu B nazywamy uporządkowaną parę punktów A i B. Wektor o początku A i końcu B oznaczamy przez Będziemy również oznaczać wektory literami pogrubionymi, np. a, b, c itp. Odległość punktów A i B nazywamy długością lub miarą wektora i oznaczamy , względnie AB lub odpowiednio długość wektora a przez , względnie . Zwrotem wektora nazywamy zwrot półprostej AB. Dwa wektory mają ten sam kierunek, jeśli proste – wyznaczone przez te wektory – mają ten sam kierunek. Dwa wektory a i b nazywamy równymi, jeśli mają ten sam kierunek, zwrot i równe długości. Dwa wektory nazywamy przeciwnymi, jeśli mają równe długości, ten sam kierunek, lecz przeciwne zwroty. Wektor przeciwny do a oznaczamy przez −a. Wektorem zerowym o nazywamy wektor, którego początek i koniec się pokrywają.

Sumą a + b wektorów a i b nazywamy wektor c, który tworzymy w następujący sposób: od dowolnego punktu odkładamy wektor a, następnie od końca odłożonego wektora a odkładamy wektor b. Początkiem wektora c = a + b jest punkt , a końcem jest koniec wektora b (rys. 1.1). Suma wektorów nie zależy od wyboru punktu . Różnicą a − b wektorów a i b nazywamy sumę wektora a i wektora przeciwnego do wektora b. Różnicę tę określamy wzorem:

.

Sumę i różnicę możemy przedstawić za pomocą równoległoboku, jak pokazano na rys. 1.1.

RYS. 1.1

Przy dodawaniu wektorów zachodzi prawo łączności. Zgodnie z prawem łączności wektor wynikowy r (rys. 1.2), będący sumą trzech wektorów a, b i c, może być obliczony jako:

RYS. 1.2

.

Obowiązuje tu prawo przemienności, tzn. kolejność dodawania wektorów jest dowolna, czyli

.

Własności dodawania wektorów można podsumować w sposób następujący:

, (prawo przemienności)

, (prawo łączności)

, .

Jeśli się zastosuje podany sposób, można otrzymać sumę dowolnej liczby wektorów (rys. 1.3). Zamykający bok wieloboku jest sumą wektorów, przy czym kolejność dodawania wektorów jest dowolna; wektor sumy powstaje przez połączenie początku pierwszego wektora z końcem ostatniego.

RYS. 1.3

1.3. Mnożenie wektora przez liczbę, kombinacja liniowa wektorów

Iloczyn wektora niezerowego przez liczbę m jest także wektorem o długości m-krotnej od długości wektora , to znaczy

.

Wektor wynikowy jest równoległy do wektora a. Przy czym jeżeli , to wektory są przeciwnie równoległe, a dla wektory są zgodnie równoległe.

Każdy wektor o długości 1 nazywamy wektorem jednostkowym lub wersorem. Jeżeli jest wersorem wektora a, .

Wersor jest wektorem zgodnie równoległym z wektorem a. Wektor a można wtedy przedstawić jako iloczyn wesora i modułu (długości) wektora a:

.

Z własności mnożenia wektora przez liczbę wynikają następujące zależności:

,

,

,

.

Wektor

,

[1.3.1]

nazywamy kombinacją liniową wektorów , ,..., . Wektory te nazywamy liniowo zależnymi, jeżeli istnieją liczby nie wszystkie równe zeru,

tzn. , takie że .

Dwa wektory liniowo zależne nazywamy wektorami kolinearnymi. Dwa niezerowe i kolinearne wektory noszą nazwę wektorów równoległych. Trzy wektory a, b, c liniowo zależne nazywamy wektorami komplanarnymi, jeżeli istnieją trzy liczby , wszystkie różne od zera spełniające zależność:

.

[1.3.2]

Wektory komplanarne leżą w jednej płaszczyźnie. Każdy z trzech wektorów leżących w jednej płaszczyźnie wektorów da się przedstawić jako kombinację liniowo zależną od dwóch pozostałych, np. dla ,

.

[1.3.3]

Jeżeli dodatkowo wektory a i b nie będą wektorami kolinearnymi, to po umieszczeniu ich początków we wspólnym punkcie wyznaczają one płaszczyznę. Wtedy wektor c może zostać rozłożony na kierunki wektorów a i b (rys. 1.4), przy czym , , ,

, , .

RYS. 1.4

1.4. Konwencja sumacyjna Einsteina

Do opisu wielu zjawisk fizycznych wystarczającym jest posługiwanie się kartezjańskim ortogonalnym układem współrzędnych. Jesteśmy przyzwyczajeni do oznaczeń osi układu współrzędnych przez x, y, z, oraz odpowiednich wersorów osi przez . Wprowadźmy inne oznaczenia. Osie układu będziemy oznaczać przez x₁,x₂,x₃, wersory zaś przez e₁,e₂,e₃. Dla dogodności zapisu zależności będziemy zapisywać w postaci indeksowej, stosując tzw. konwencję sumacyjną Einsteina. Zgodnie z tą konwencją osie układu współrzędnych będziemy oznaczać jako xi, wersory osi jako ei, gdzie: . Jeżeli we wzorach wystąpią wyrażenia z powtarzającymi się indeksami, oznaczać to będzie sumowanie wszystkich wyrazów, w których powtarzany wskaźnik przyjmuje wszystkie możliwe wartości. Wskaźniki powtarzające się będziemy nazywać niemymi (sumacyjnymi), pozostałe zaś – wskaźnikami swobodnymi (a także bieżącymi lub wolnymi). Wskaźniki nieme zawsze znikają po rozwinięciu wzoru. Do określenia wskaźników niemych można stosować zamiennie inne dowolne litery, przykładowo:

,

gdzie: wskaźniki i, j, k , m = 1, 2, 3.

W tym wyrażeniu k lub m są wskaźnikami niemymi (powtarzającymi się), natomiast i oraz j wskaźnikami wolnymi. Jeżeli wybierzemy przykładowo jako wskaźniki wolne i = 2 oraz j = 3, to nasze wyrażenie przybierze postać:

.

Podany tu zapis wskaźnikowy oraz konwencja sumacyjna są powszechnie stosowane w rachunku tensorowym.

1.4.1. Rozwinąć wyrażenie , zakładając, że .

Rozwiązanie:

W wyrażeniu tym występują wskaźniki nieme k i l oraz wskaźniki wolne i oraz j. Sumowanie następuje po wskaźnikach niemych, wskaźniki wolne pozostawiamy. Wyrażenie to możemy zapisać w postaci podwójnej sumy, przy czym najpierw wykonujemy sumowanie po l, potem k:

Wstawiając zamiast wskaźników i oraz j dowolne liczby, np. i = 3, j = 3, otrzymamy wyrażenie na A₁₃:

1.5. Wektory w układzie współrzędnych prostokątnych

Niech a będzie dowolnym wektorem na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz, a ai rzutami tego wektora na osie Ox, Oy i Oz (rys. 1.5).

RYS. 1.5

Jeżeli są wersorami osi (lub inaczej wektorami jednostkowymi o zwrotach zgodnych ze zwrotami osi), oraz jeśli założymy, że końce wektorów i  (są to wektory wodzące) mają współrzędne odpowiednio i , wtedy wektor zapisujemy w postaci (rys. 1.5):

lub .

Liczby nazywamy współrzędnymi wektora. Współrzędne mogą być dodatnie, ujemne i równe zeru. W przestrzeni trójwymiarowej dany wektor a będziemy zapisywać następująco (rys. 1.5 b):

.

Z definicji sumy wektorów wynika wzór:

.

Wersory osi (lub inaczej wektory bazowe) dają się przedstawić w następujący sposób:

, , .

[1.5.1]

Zamiennie będziemy oznaczali wersory układu współrzędnych również przez .

Niech wektor niezerowy tworzy z osiami współrzędnych kąty (rys. 1.5 b). Cosinusy tych kątów nazywamy cosinusami kierunkowymi wektora , przy czym:

, , .

[1.5.2]

Podnosząc obie strony równania (1.5.2) do kwadratu i dodając stronami, otrzymamy:

.

[1.5.3]

Sumę lub różnicę dwóch wektorów i  tworzymy, dodając lub odejmując współrzędne wektorów:

,

[1.5.4a]

.

[1.5.4b]

Rzutem as wektora a na oś Os nazywamy wektor (rys. 1.6), którego początek jest rzutem początku, a koniec rzutem końca wektora a na tę oś. Współrzędną as wektora a względem osi Os nazywamy miarę rzutu (lub współrzędną) wektora as względem tej osi. Zakładając, że es jest wersorem osi Os, mamy:,

.

[1.5.5]

RYS. 1.6

Wszystkie przeprowadzone obliczenia rachunkowe będziemy odnosili do prawoskrętnego układu współrzędnych (rys. 1.7).

RYS. 1.7

1.5.1. Dane są trzy wektory: a[1,-1], b[4,3], c[-10,-11]. Przedstawić wektor c jako kombinację liniową wektorów a i b.

Rozwiązanie:

Zapisujemy wektor w postaci: .

Mnożąc obie strony równania wektorowego przez wersory i i j, otrzymamy dwa równania liniowe:

, , zatem: , .

Rozwiązując układ równań, otrzymamy: i .

Odp.: .

1.5.2. W prostokącie ABCD, M i N są środkami boków , . Rozłożyć wektor na kierunki wektorów i .

Rozwiązanie:

Ponieważ punkty M i N są środkami boków prostokąta ABCD (rys. 1.8), więc

RYS. 1.8

, , ,

gdzie: są wersorami osi.

Zgodnie z założeniem wektor c musi być sumą dwóch wektorów, tzn. , zatem:

.

Jeśli porównamy teraz współrzędne przy tych samych wersorach po obu stronach równania, otrzymamy dwa równania:

, .

Rozwiązanie układu równań prowadzi do otrzymania .

Odp.: .

1.6. Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym dwóch niezerowych wektorów a i b nazywamy liczbę równą iloczynowi długości tych wektorów przez cosinus kąta zawartego między nimi

, gdzie: .

[1.6.1]

Własności iloczynu skalarnego:

– iloczyn skalarny jest przemienny,

,

– prawo rozdzielności iloczynu względem dodawania.

Z definicji iloczynu skalarnego wynika (i) własność o ortogonalności dwóch niezerowych wektorów a i b oraz (ii) wzór na długość wektora a. Mianowicie dwa wektory są ortogonalne (kąt między wektorami jest prosty), jeżeli ich iloczyn skalarny jest równy zeru, tj. .

Wzór na długość wektora a:

.

[1.6.2]

W prostokątnym układzie współrzędnych dla danych dwóch wektorów i  iloczyn skalarny, w zapisie wskaźnikowym, wyraża się wzorem:

(1.6.3)

Powyżej, w przypadku operacji mnożenia skalarnego, wykorzystano symbol delty Kroneckera . Zgodnie z jej definicją mamy:

.

Przy założeniu ortogonalności układu współrzędnych otrzymujemy: .

Jeżeli a i b są wektorami niezerowymi, należy skorzystać z definicji iloczynu skalarnego i kąt zawarty między nimi obliczyć z następującego wzoru:

.

[1.6.4]

1.6.1. Wykazać słuszność wzoru oraz podać jego sens geometryczny.

Rozwiązanie:

.

Korzystamy ze wzoru (1.6.1), obliczamy:

oraz ,

zatem:

.

Odp.: Suma kwadratów długości boków równoległoboku jest równa sumie kwadratów jego przekątnych.

1.6.2. Znaleźć kąty wewnętrzne trójkąta o wierzchołkach A(2,-1), B(1,3), C(-1,1).

Rozwiązanie:

Sposób I:

, , ,

, , .

Kąty obliczamy, korzystając ze wzoru (1.9). Przy zachowaniu odpowiednich zwrotów wektorów tworzących trójkąt (rys. 1.9) mamy:

,

,

.

RYS. 1.9

Sposób II:

Ponieważ wektory a, b i c tworzą trójkąt zamknięty (rys. 1.9), mamy stąd (szukamy cos A).

Podnosimy do kwadratu obie strony równania, otrzymujemy:

.

Korzystamy z własności iloczynu skalarnego i obliczamy:

, , oraz

,

stąd:

.

W podobny sposób można uzyskać wzory na pozostałe kąty:

, .

Otrzymane powyżej wzory przedstawiają twierdzenie Carnota (zwane również twierdzeniem cosinusów).

1.6.3. Znaleźć rzut wektora na oś wyznaczoną przez wektor (rys. 1.10).

RYS. 1.10

Rozwiązanie:

Rzut wektora na kierunek wektora wynosi: ,

zatem:

(eb– wersor osiOs na której leży wektor b),

.

(Sprawdzamy długość wersora jednostkowego: ).

Teraz, ,

skąd:

.

Z równania (1.5.3) ,

.

Odp.:.

1.6.4. Wektor rozłożyć na sumę dwóch ortogonalnych wektorów (składowych), z których jeden leży w płaszczyźnie (wektor T), a drugi jest prostopadły (wektor N) do niej. Położenie płaszczyzny wyznacza jednostkowy wektor normalny

.

Rozwiązanie:

Wektor N prostopadły do płaszczyzny wyznaczamy w sposób następujący (rys. 1.11):

RYS. 1.11

(zastosowano zapis zgodnie z konwencją sumacyjną).

Współrzędne wektora N na poszczególne osie (oznaczone jako ) wynoszą:

.

Wektor leżący w płaszczyźnie stycznej obliczamy jako różnicę wektorów . Współrzędne tego wektora wynoszą (wzór 1.4.4):

.

Zgodnie z zapisem sumacyjnym poszczególne współrzędne obu wektorów są równe:

, , ,

, , .

Po wstawieniu odpowiednich współrzędnych wektorów i n otrzymujemy przykładowo:

,

.

Pozostałe współrzędne wynoszą:

, , , .

Łatwo sprawdzić, że wersor leżący w płaszczyźnie stycznej wynosi:

,

oraz .

1.7. Iloczyn wektorowy

Iloczynem wektorowym dwóch niekolinearnych wektorów a i b nazywamy wektor:

,

[1.7.1]

spełniający następujące warunki:

(i) długość wektora c jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b (rys. 1.12),

czyli:

,

[1.7.2]

(ii) wektor c jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory a i b,

(iii) zwrot wektora c jest taki, że uporządkowane trzy wektory a, b i zorientowane są zgodnie z osiami prawoskrętnego układu współrzędnych (wektor c tworzy z wektorami a i b układ prawoskrętny).

Własności iloczynu wektorowe:

Iloczyn wektorowy nie jest przemienny:

.

,

Prawo rozdzielności iloczynu względem dodawania:

.

Dla danych dwóch wektorów w prostokątnym układzie współrzędnych i  iloczyn wektorowy obliczamy następująco:

, lub inaczej ,

[1.7.3]

gdzie jest symbolem permutacyjnym Levi-Civita (zwany też symblomem Ricciego):

,

w innym zapisie .

W równaniu (1.7.3) występuje wyznacznik z macierzy, w której elementy pierwszego wiersza są wersorami osi układu. Dla wektorów kolinearnych iloczyn wektorowy .

Dowód wzoru (1.7.3) jest prosty: .

Z definicji długości wektora otrzymujemy wzór na pole trókąta ABC jako połowa pola równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b (p. rys. 1.12), stąd:

RYS. 1.12

.

[1.7.4]

1.7.1. Obliczyć iloczyn wektorowy wektorowy i , gdzie: są wersorami osi układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Sposób I:

Zakładamy, że mamy do czynienia z układem prawoskrętnym, to znaczy:

, , , .

Zgodnie z prawem rozdzielności iloczynu względem dodawania, wykonujemy bezpośrednie operacje mnożenia wektorowego poszczególnych składowych obu wektorów:

II sposób:

Zgodnie ze wzorem (1.6.3):

1.7.2. Obliczyć pole równoległoboku o bokach a i b. Kąt między bokami przyjąć jako φ.

Rozwiązanie:

Pole równoległoboku o bokach a i b (rys. 1.12) wynosi . Ponieważ , pole równoległoboku o bokach a i b jest równe długości wektora c rozpiętego na wektorach a i b, tzn. .

1.7.3. Wyprowadzić twierdzenie sinusów metodami rachunku wektorowego.

Rozwiązanie:

Zakładamy, że wektory a, b i c tworzą trójkąt zamknięty (rys. 1.9), tzn.

.

Mnożymy obie strony równania przez wektor b

,

stąd po uwzględnieniu, że , , więc

.

Dwa wektory są równe, to ich długości są równe, czyli

, zatem: .

Mnożąc wektorowo równanie na sumę wektorów w trójkącie przez wektor a, otrzymamy:

.

Łącząc obydwa wyniki, otrzymujemy kompletne twierdzenie sinusów:

.

Twierdzenie sinusów nazywane jest również twierdzeniem Lamy’ego od nazwiska odkrywcy – Francuza Bernarda Lamy’ego (1645–1715).

1.8. Iloczyn mieszany

Iloczynem mieszanym trzech wektorów a, b, c nazywamy liczbę

.

[1.8.1]

Jeżeli trzy wektory a, b, c są komplanarne (tworzą płaszczyznę), to iloczyn mieszany (abc) = 0.

Zakładając, że wektory a, b, c są niekomplanarne oraz umieszczając ich początki we wspólnym punkcie , możemy na tych wektorach rozpiąć równoległościan (rys. 1.13). Z definicji iloczynu skalarnego mamy:

, gdzie .

RYS. 1.13

Pole równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b jest równe , a wysokość równoległościanu jest równa , zatem objętość równoległościanu:

.

[1.8.2]

Ponieważ każdą ścianę tego równoległościanu możemy uważać za podstawę, jego objętość można wyrazić trzema sposobami:

.

Na podstawie prawa przemienności iloczynu skalarnego otrzymujemy z powyższych zależności:

.

Stąd wynika, że przy zachowaniu kolejności wektorów można nawzajem zamieniać mnożenie wektorowe i skalarne. Własność tę nazywamy prawem zamienności. Jest obojętne, czy mnożenie wektorowe stosujemy do pierwszych dwóch wektorów, czy do dwóch ostatnich, pod warunkiem, że kolejność wektorów została zachowana. Dlatego do opisu iloczynu mieszanego używa się symbolu

Z własności iloczynu skalarnego i wektorowego otrzymuje się dalsze zależności iloczynu mieszanego:

.

Niech w prostokątnym układzie współrzędnych dane są trzy wektory: , i . Iloczyn mieszany obliczamy stosując wzór:

.

[1.8.3]

Trzy wektory są komplanarne (leżą w jednej płaszczyźnie), jeżeli (abc) = 0. Dowód wynika z przyjęcia założenia o liniowej zależności wektorów a, b, i c (rów. 1.2.2). Mnożąc równanie (1.2.2) odpowiednio przez wersory układu współrzędnych i, j, k, otrzymuje się układ trzech równań liniowych:

,

,

[1.8.4]

.

Jednorodny układ równań (1.8.4) ma nietrywialne (niezerowe) rozwiązanie ze względu na liczby , jeżeli wyznacznik utworzony przez współrzędne tych wektorów jest równy zeru, tzn. (abc) = 0 zgodnie z równaniem (1.8.3).

Wykorzystując inną definicję symbolu permutacyjnego Levi-Civita jako iloczyn mieszany wektorów bazowych układu współrzędnych, to znaczy (prawo przemienności dla iloczynu skalarnego), iloczyn wektorowy:

1.8.1. Siła o wartości 10N działa wzdłuż linii przechodzącej przez punkty Q o współrzędnych (1,-1,1) i R o współrzędnych (4,-5,13). Znaleźć (i) moment względem punktu o współrzędnych P(0,1,-1), (ii) moment względem prostej łączącej początek układu współrzędnych (punkt O) z punktem P.

Rozwiązanie (i):

Siła działa wzdłuż kierunku wektora jak na rys. 1.14. Wartość tej siły (długość wektora F) wynosi 10. Wektor siły jest równy:

.

RYS. 1.14

Siła F działa na ramieniu (rys. 1.14).

Moment siły F na ramieniu r wynosi:

.

Momentem siły względem danej osi obrotu nazywamy rzut na kierunek prostej momentu obliczonego względem dowolnego punktu leżącego na tej prostej.

Zadanie rozwiążemy dwoma sposobami, raz wybierając punkt P (sposób I), za drugim razem (sposób II) początek układu współrzędnych (punkt O).

Rozwiązanie:

Sposób I – rzut momentu obliczonego względem punktu P na prostą o kierunku wektora :

Kierunek prostej jest określony przez wektor jednostkowy wektora , to znaczy:

.

Moment wzdłuż prostej obliczamy jako:

.

Sposób II – rzut momentu obliczonego względem punktu O na prostą o kierunku wektora :

Ramieniem działania siły jest teraz wektor . Moment rzutujemy na kierunek wesora i otrzymujemy:

.

1.8.2. Dany jest czworościan o wierzchołkach A,B,C,D. Udowodnić, że objętość czworościanu wynosi:

.

Rozwiązanie:

Przyjmujemy oznaczenia jak na rys. 1.15: , , . Korzystamy ze wzoru na objętość czworościanu, która jest równa iloczynowi jednej trzeciej pola podstawy przez wysokość wyprowadzoną z podstawy o bokach u i v:

RYS. 1.15

.

Pole podstawy obliczamy wg wzoru (1.6.4). Wysokość h jest miarą rzutu wektora w na wektor prostopadły do podstawy, tzn. na wektor (porównaj przykład 1.5.3), zatem

,

wobec tego:

.

1.9. Iloczyny wielokrotne

1.9.1. Podwójny iloczyn wektorowy

Wśród iloczynów wielokrotnych na szczególną uwagę zasługuje podwójny iloczyn wektorowy

.

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów a i  przedstawia pewien wektor prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez te dwa wektory (rys. 1.16); wektor leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory b i c. Istnieje zatem zależność liniowa między tymi wektorami, czyli

RYS. 1.16

,

gdzie m i n są to ściśle wyznaczone skalary. Mnożąc skalarnie powyższe równanie odpowiednio przez wektory b i c i rozwiązując tak otrzymany układ równań, otrzymuje się, że oraz , zatem:

.

[1.9.1]

Wzór ten nazywamy prawem rozwinięcia. Na podstawie tego wzoru otrzymujemy

.

[1.9.2]

1.9.1. Na powierzchnię określoną przez wierzchołki A o współrzędnych (0,5,10), B(5,10,10) i C(0,10,0) działa wektor siły (rys. 1.17). Rozłożyć tę siłę na kierunek styczny i normalny do powierzchni.

RYS. 1.17

Rozwiązanie:

Określamy najpierw zewnętrzny wersor normalny n do powierzchni:

.

Zadanie rozwiążemy dwoma sposobami, m.in. wykorzystując operację mnożenia diadycznego (p. rozdział 1.10). Wektor normalny siły obliczamy jak w przykładzie (1.6.4), to znaczy:

Uwaga:

Wyrażenie nazywa się mnożeniem lub iloczynem diadycznym lub tensorowym dwóch wektorów (w tym przypadku dwóch wersorów normalnych n, patrz: rozdział 1.9.).

Stąd:

.

Wynik ten łatwo można sprawdzić. Długość wektora siły normalnej wynosi:

,

zatem:

.

Wektor styczny jest różnicą wektorów F i Fn:

,

lub obliczając inaczej:

.

(W ostatnim wyprowadzeniu wykorzystaliśmy własność przemienności iloczynu skalarnego oraz fakt, że ).

Skorzystamy teraz z własności podwójnego iloczynu wektorowego (wzór 1.9.2), zatem:

,

przy czym:

.

Tak więc:

.

Łatwo wykazać poprawność obliczonego wyniku. Z różnicy wektorów:

lub

1.9.2. Iloczyn wektorowy poczwórny

Iloczyny wielokrotne można wyrazić w prostszej postaci, stosując prawo zamienności i rozwinięcia.

Sposób postępowania wyjaśnimy na dwóch przykładach.

Iloczyn można przekształcić, korzystając z podanych zależności iloczynu mieszanego odniesionych do trzech wektorów a, b i , więc

Korzystając teraz z prawa rozwinięcia iloczynu podwójnego wektorów b, c i d,

,

mamy:

,

oraz wykorzystując prawo rozdzielności iloczynu skalarnego względem dodawania otrzymamy tożsamość Laplace’a:

.

Iloczyn można rozwinąć jako podwójny iloczyn wektorowy wektorów , c, d. Otrzymamy w ten sposób:

.

1.9.2 Niech będą dane następujące wektory: , , , .

Sprawdzić tożsamość: .

Rozwiązanie:

Strona lewa wynosi:

,

,

zatem

.

Z drugiej strony mamy:

oraz ,

tak więc:

.

1.10 Iloczyn diadyczny (tensorowy) wektorów

Dla danych dwóch wektorów w prostokątnym układzie współrzędnych i  iloczyn diadyczny zewnętrzny (lub tensorowy) będziemy zapisywać symbolicznie jako:

,

[1.10.1a]

gdzie jest zbiorem dziewięciu iloczynów diadycznych wektorów tworzących bazę przestrzeni tensorowej, analogicznie do wersorów tworzących bazę przestrzeni wektorowej.

Składowe iloczynu diadycznego uzyskuje się jako wynik mnożenia algebraicznego odpowiednich współrzędnych wektorów a i b. Składowe diady będziemy przedstawiać w postaci macierzy kwadratowej:

,

[1.10.1b]

gdzie górny wskaźnik T oznacza transpozycję wektora. Składowe są reprezentacją macierzową tensora T.

W kartezjańskim układzie współrzędnych prostokątnych składowe te można obliczyć również, mnożąc skalarnie tensor lewostronie i prawostronnie przez wektory bazowe:

. (1.10.1c)

Celem określenia iloczynu diadycznego w kartezjańskim układzie współrzędnych niezbędna jest więc znajomość dziewięciu skalarów przy zachowaniu kolejności zapisu iloczynów wektorów bazowych . Skalary te nazywamy składowymi iloczynu diadycznego (diady). W wyniku mnożenia diadycznego otrzymujemy obiekt geometryczny o własnościach tensora drugiego rzędu.

W tym miejscu należy się wyjaśnienie. Tensorem drugiego rzędu będziemy nazywać obiekt geometryczny opisany przez dziewięć składowych, którego składowe będą podlegać odpowiednim regułom przekształcenia przy zmianie układu współrzędnych, np. obrotu osi współrzędnych. Obiektem o takich własnościach jest tensor naprężęnia, tensor momentów bezwładności lub momentów dewiacji przekrojów figury płaskiej. Skalary będziemy uważać za tensory rzędu zerowego, a wektory za tensory rzędu pierwszego.

1.10.1. Iloczyn skalarny diady przez wektor

Przedstawimy dalej podstawowe zależności wynikające z działania operatorem diadycznym.

Jeżeli zadziałamy operatorem skalarnie na wektor c prawostronnie (operację tę nazywamy również nasunięciem lewostronnym wektora na tensor), czyli

,

[1.10.2a]

w wyniku działania otrzymamy nowy wektor o kierunku wektora a. Z kolei w wyniku działania wyrażeniem lewostronnie na wektor c (nasunięcie prawostronne wektora na tensor):

, (1.10.2b)

uzyskany wynik działania jest inny. Otrzymany wektor ma teraz kierunek działania wektora b.

Mnożenie diadyczne jest więc pewnym operatorem, który działając na dowolny wektor c przez iloczyn skalarny odwzorowuje go na wektor o innym kierunku działania.

Jeżeli zadziałamy iloczynem i iloczynem przestawionym prawostronnie na wektor c, otrzymamy:

– wektor o kierunku a,

[1.10.2c]

– wektor o kierunku b.

Z tych działań wynika ważna zależność, która będzie wielokrotnie wykorzystywana w dalszych obliczeniach, mianowicie:

.

Przykładowo:

, .

Jeżeli , oraz , dowód wzorów (1.10.2c) jest następujący:

Podobnie:

Wynik wskazuje, że iloczyn diadyczny jest nieprzemienny.

Własności iloczynu diadycznego:

1. , mnożenie diadyczne jest nieprzemienne.

2. , prawo rozdzielności mnożenia diadycznego względem dodawania.

3. .

Z własności przemienności iloczynu skalarnego i prawa rozdzielności mnożenia diadycznego względem dodawania uzyskuje się dalsze zależności:

–

wektor o kierunku a,

– wektor o kierunku a,

– wektor o kierunku c.

Dwa ostatnie wyniki wskazują, że jeżeli przestawimy iloczyn diadyczny i jednocześnie zmienimy stronę działania operatora diadycznego, wynik nie ulegnie zmianie.

Korzystając z podanych wyżej wzorów, można udowodnić, że w przypadku dowolnego wektora leżącego w ortonormalnym układzie współrzędnych o wektorach bazowych zachodzi relacja:

.

W szczególnym przypadku: .

Dowód jest następujący. Niech wektor . Uwzględniając ostatni wzór, mamy:

.

W wyniku z prawostronnego działania tensora rzędu drugiego T o składowych na dowolny wektor otrzymujemy:

Korzystając z tego wyprowadzenia, przyjmując, że tensor rzędu drugiego jest tensorem naprężeń Cauchy’ego , n natomiast jest wersorem normalnym do pewnej elementarnej powierzchni (zewnętrzny wektor normalny definiuje się jako wektor jednostkowy o zwrocie na zewnątrz powierzchni), wówczas w wyniku prawostronnego nasunięcia tensora naprężeń Cauchy’ego T na wersor n, otrzymuje się wektor naprężeń (wektor siły podzielony przez pole powierzchni):

.

Z tego ostatniego zapisu wynika ważny wzór z teorii sprężystości (formuła naprężeń Cauchy’ego):

lub w zapisie macierzowym: ,

[1.10.2d]

gdzie: oznacza wektor naprężeń odniesiony do powierzchni zorientowanej przez wersor n.

W szczególnym przypadku, gdy (współrzędne wersora zewnętrznego są wtedy równe ), dostaniemy: .

Postępując podobnie, otrzymamy: oraz .

W ten sposób otrzymujemy wektory naprężenia:

, gdzie j = 1,2,3,

[1.10.2e]

przyporządkowane kierunkom osi układu współrzędnych. Przy opisie składowych tensora naprężeń pierwszy ze wskaźników oznacza kierunek składowej, drugi zaś numer płaszczyzny odpowiadający osi prostopadłej do niej. Przykładowo, oznacza składową naprężenia na kierunku osi x₂ w płaszczyźnie prostopadłej do osi x₃.

Łącząc teraz wzory (1.10.1) i (1.10.2), otrzymujemy:

.

[1.10.2f]

Rozwijając wyrażenie (1.10.2f) po wskaźnikach, mamy:

, ,

.

Po uwzględnieniu wzorów (1.10.2e) trzy ostatnie wyrażenia przekształcają się do postaci:

,

,

[1.10.2g]

.

1.10.1 Wiedząc, że składowe tensora naprężeń Cauchy’ego w otoczeniu punktu O wynoszą:

,

znaleźć składowe wektora naprężenia w płaszczyźnie przechodzącej przez punkty A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,2) (rys. rys. 1.18).

Rozwiązanie:

Definiujemy najpierw wersor zewnętrzny n do płaszczyzny przechodzącej przez punkty A, B i C o równaniu :

.

Korzystając następnie ze wzoru (1.10.2d): , lub w jego postaci rozwiniętej ze wzoru (1.10.2g), dostajemy:

,

,

.

W zapisie macierzowym:

.

Odp.: Wektor naprężeń działający na ścianie ABC jest równy . Jak widać, jego składowe zależą od położenia płaszczyzny, względem której jest on określony. Na rys. 1.18 pokazano rozkład składowych tensora naprężeń na poszczególnych ścianach (prostopadłych do poszczególnych osi) wyciętego czworościanu w otoczeniu początku układu współrzędnych (punkt O).

RYS. 1.18

1.10.2. Iloczyn tensorowy (zewnętrzny) tensorów rzędu drugiego

Iloczyn tensorowy dwóch tensorów rzędu drugiego jest tensorem tego samego rzędu. Przeprowadźmy dowód. W obliczeniach iloczynu tensorowego korzysta się z następującej równości:

.

Niech będą dane dwa tensory: i . Korzystając z powyższej tożsamości, mnożenie wektorowe prowadzi do następującego wyniku:

1.10.3. Poczwórny iloczyn skalarny (wewnętrzny) tensorów rzędu drugiego

Iloczyn skalarny dwóch tensorów rzędu drugiego jest skalarem. Przeprowadźmy dowód. Podobnie jak poprzednio, dane są dwa tensory rzędu drugiego: i . W wyniku mnożenia skalarnego otrzymamy:

W ostatnim wyrażeniu zachodzi podwójna kontrakcja (inaczej zwężenie), która polega na zrównaniu dwóch wskaźników tensora, przez co obniża się rząd tensora o 2. W wyniku takiej operacji otrzymujemy pewien skalar α.

W literaturze podwójną kontrakcję oznacza się również symbolem A : B. W wyniku mnożenia wewnętrznego dwóch tych samych tensorów otrzymujemy:

.

Jeśli zaś T jest tensorem rzędu drugiego, natomiast a wektorem, to prawostronne nasunięcie tensora na wektor Ta jest pewnym wektorem b. Wektor ten możemy pomnożyć skalarnie przez wektor a, otrzymując w rezultacie pewien skalar. Wartość tego skalara jest równa:

.

Tę samą wartość ma iloczyn:

.

Mamy więc ostatecznie:

.

W zapisie macierzowym podwójną kontrakcję przedstawiamy następująco:

.

Jeżeli tensor T jest symetryczny, tzn. , wtedy

.

To ostatnie wyrażenie będzie często wykorzystywane w rozdziale 5, w którym omówiono metody obliczania tensorów bezwładności linii, figur płaskich i brył.

1.10.2 Wiedząc, że w układzie osi obróconych składowe pewnego tensora (tensor ten możemy interpretować jako tensor bezwładności pręta o masie i długości względem jednego z jego końców) wynoszą:

,

obliczyć wartość momentu bezwładności względem osi Ox, jeżeli pręt jest nachylony do tej osi pod kątem .

Rozwiązanie:

Przyjmując, że położenie osi Ox względem układu związanego z prętem jest wyznaczone przez wersor:

,

moment bezwładności pręta względem osi Ox (wyprowadzenie podano w rozdziale 10, wzór 10.34) wynosi:

.

Korzystając zaś z zapisu indeksowego, mamy:

1.10.4. Iloczyn wektorowy diady przez wektor

Iloczynem wektorowym diady przez wektor c nazywamy operacje określone następującymi wzorami:

, (prawostronne mnożenie wektorowe) (1.10.3) . (lewostronne mnożenie wektorowe)

W zapisie indeksowym wyrażenia (1.9.3) przedstawiają się następująco:

[1.10.4]

oraz

Mnożenie wektorowe wektora i tensora (produktem jest diada) jest nieprzemienne, tzn. .

Zauważmy, że w równaniach jest uzasadnionym przestawianie wyrażeń zawierających współrzędne wektorów lub składowe tensora; współrzędne wektora lub składowe tensora to liczby!

1.10.5. Grupa przekształceń ciągłych (topologicznych)

Proste działania na tensorach przedstawimy na przykładach grupy przekształceń ciągłych (lub inaczej topologicznych). Uznaliśmy, że grupa przekształceń topologicznych najlepiej nadaje się do pierwszego czytania zagadnień związanych z zastosowaniem rachunku tensorowego.

Ten fragment pracy kierujemy do bardziej zaawansowanych Czytelników, którzy mogą ten dział potraktować jako wstęp do studiowania złożonych zagadnień z zastosowania rachunku tensorowego w krzywoliniowych układach współrzędnych, np. do mechaniki ciała odkształcalnego, teorii sprężystości, teorii rozchodzenia się fal elekromagnetycznych lub hydromechaniki.

Teorie (relacje funkcyjne lub związki funkcyjne) muszą spełniać postulat materialnej obiektywności, tzn. muszą być niezależne od zmiany układu odniesienia. Mówi się również, że muszą być niezależne od obserwatora, który jest z kolei umocowany w nieruchomym lub ruchomym układzie współrzędnych. Chodzi o to, ażeby relacje opisujące zachowanie się odpowiedniego ciała były takie same dla wszystkich obserwatorów. Podstawową rolę odgrywają tu przekształcenia oparte o sztywną transformację – obrót i przesunięcie. Te przekształcenia oparte są na macierzach przekształceń, które mają cechy macierzy ortogonalnych i są reprezentantami tensorów ortogonalych. Oczywiście w wyniku zmiany układu współrzędnych zmieniają się reprezentacje (współrzędne) wektorów lub składowe tensorów, nie mogą natomiast zmianom podlegać zależności funkcyjne od współrzędnych.

Grupy przekształceń ortogonalnych mają bezpośrednie zastosowanie w różnych teoriach fizycznych, w tym również w mechanice. Są to zbiory przekształceń ze względu na działanie grupowe, którym jest superpozycja przekształceń. Grupy przekształceń, pod wpływem których teorie nie ulegają zmianom, noszą nazwę grup symetrii lub grup niezmienniczości. Jeżeli we wszystkich elementach grupy zachodzi przemienność działania mnożenia (elementy grupy komutują ze sobą), to grupa nazywa się abelową.

W teoriach fizycznych wyróżnia się grupy przekształceń skończone i nieskończone, w tym grupy ciągłe (topologiczne). Wśród tych ostatnich przeanalizujemy grupę przekształceń ortogonalnych.

1.10.5.1. Grupa przekształceń ortogonalnych

Występują dwie grupy lub dwa rodzaje przekształceń ortogonalnych: pierwszego rodzaju (grupa obrotów o wyznaczniku macierzy reprezentującej tensory przekształceń, tutaj obrotów, +1) i drugiego rodzaju, o wyznaczniku −1, które obrotami nie są.

1.10.5.1.1. Grupa przekształceń obrotów. Tensor obrotu

Występowanie niezmienniczości (symetrii) pewnej teorii względem grupy obrotów oznacza jej niezależność od położenia obserwatora, a więc oznacza realizację postulatu materialnej obiektywności.

Obrót przestrzenny ciała sztywnego można przeprowadzić jako obrót o pewien kąt wokół osi obrotu skierowanej wzdłuż stałego wektora jednostkowego e. Każdy obrót można traktować dualnie, jako obrót bazy układu odniesienia (obserwatora).

Wyprowadźmy macierz przekształcenia, która jest reprezentantem tensora obrotu R. Z rys. 1.19 wynika, że w wyniku obrotu wektor v zajmuje nowe położenie określone przez wektor . Wektor ten jest sumą trzech następujących wektorów:

RYS. 1.19

,

gdzie wektor jest rzutem wektora v na kierunek wektora obrotu e, tzn. . Wektor leży na kierunku wektora , który jest równy różnicy wektorów , trzeci wektor (wektor jest kolinearny do wektora ) jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory e i v. Wobec powyższego wektor zapisujemy jako

.

Nieznane współczynniki a i b wyznaczamy, mnożąc skalarnie wektor:

,

raz przez wektor , drugi raz przez .

W wyniku mnożenia przez otrzymamy:

.

Ponieważ długość wektora , zatem . Współczynnik b wyznaczmy podobnie. Mnożąc skalarnie wektor c przez , znajdujemy . Wektor wynikowy wynosi:

,

lub w innym zapisie:

.

[1.10.5]

Tensor obrotu transformuje wektor v w nowe położenie (rys. 1.19). Zgodnie z (1.10.5) mamy:

,

[1.10.6]

gdzie I jest tensorem jednostkowym reprezentowanym przez macierz:

.

[1.10.7]

Wyjaśnienia wymaga zapis trzeciego składnika tensora obrotu, mianowicie . Otóż składowe tego tensora powstają w wyniku prawostronnego działania wektorowego wersorem e na tensor o diagonalnej reprezentacji macierzowej. Działanie to opiszemy zgodnie ze wzorem (1.10.4):

,

[1.10.8a]

gdzie:

oraz . (1.10.8b)

Korzystając z notacji wskaźnikowej, poszczególne składowe tensora (patrz wzór 1.10.8a) zapiszemy, rozwijając wyrażenie po wskaźnikach niemych i oraz k, mamy:

(1.10.9)

Po wstawieniu odpowiednich wskaźników swobodnych oraz po uwzględnieniu wskaźników Levi-Civita (równanie 1.6.3) wyrażenie (1.9.9) w postaci macierzowej przyjmie postać:

.

[1.10.10]

Po wstawieniu do reprezentacji macierzowej (1.10.10) współrzędnych wersora e i składowych tensora (równanie 1.10.8b) otrzymamy ostatecznie:

.

[1.10.11]