Projekt okładki i stron tytułowych: Barbara Niewiadomska

Wydawca: Karol Zawadzki

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redaktor: Irena Puchalska

Produkcja: Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN S.A.
Michał Latusek

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w Internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2023

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2023r. (Wydanie I)
Warszawa 2023

ISBN 978-83-01-22908-5

DOI: https://doi.org/10.53271/2023.010

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288; infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Fragment

Wstęp

I. Lekcja matematyki

II. Cele nauczania matematyki

III. Zasady nauczania matematyki

IV. Metody nauczania matematyki

V. Przykłady teorii rozwoju umysłowego związane z nauczaniem matematyki

VI. Język matematyki – obrazy

VII. Język matematyki – słowa

VIII. Język matematyki – symbole

IX. Nauczanie algorytmów w szkole

X. Wprowadzanie i definiowanie matematycznych pojęć

XI. Matematyczne rozumowania

XII. Technologie w nauczaniu matematyki

XIII. Matematyczne modelowanie w szkole

XIV. Sytuacje dydaktyczne w nauczaniu matematyki

XV. Trudności uczniów w uczeniu się i rozumieniu matematyki. Wartość dydaktyczna błędu

XVI. Zadania – sedno szkolnej matematyki

XVII. Nauczanie matematyki uczniów uzdolnionych matematycznie

XVIII. Nauczanie matematyki uczniów ze specyficznymi potrzebami

Przypisy

Pozostałe rozdziały dostępne w pełnej wersji e-booka.

Wstęp

Podobno najtrudniej napisać wstęp do książki (podręcznika). Wbrew tej opinii pracę nad tą książką rozpocząłem właśnie od wstępu. Książka jest odzwierciedleniem mojej ponad 40-letniej pracy jako nauczyciela akademickiego, przy czym większa część tej pracy to praktyki w szkole, ćwiczenia i wykłady z dydaktyki matematyki. Przeglądając swoje notatki do zajęć z tego przedmiotu, uświadomiłem sobie, jak szybko zmienia się ta dziedzina matematyki (wbrew opinii wielu „czystych” matematyków uważam dydaktykę matematyki za naukę ściśle związaną z matematyką). Zmiany te wynikają m.in. z jednej oczywistej przyczyny: uczniowie się zmieniają – zmienia się ich spojrzenie na ewoluujący świat, na matematykę jako przedmiot szkolny, zmieniają się narzędzia szkolne. Zmieniają się także nauczyciele matematyki, obecnie uczący lub zamierzający uczyć (studenci); właśnie przede wszystkim do nauczycieli (przyszłych i obecnych) adresuję moją książkę – uważam, że o poziomie szkolnej matematyki decydują przede wszystkim nauczyciele. Kieruję ją także do osób prowadzących rozmaite zajęcia z szeroko pojętej dydaktyki matematyki, zarówno specjalizujących się w tej dziedzinie, ale także do matematyków, których kontakt z dydaktyką polega głównie na prowadzeniu zajęć dla sekcji nauczycielskiej.

Dydaktyka matematyki nie ma struktury nauki aksjomatycznej (takiej, jaką ma matematyka), ale można w niej wyróżnić trzon, tzn. reguły, zasady, które się nie zmieniają, i o ważności których przekonani są niemal wszyscy zajmujący się nauczaniem matematyki. Zastanawiałem się, czy zacząć właśnie od tego trzonu. Moje wahanie wynikało m.in. ze struktury kształcenia nauczycieli matematyki w niektórych polskich uczelniach; w uczelniach tych przyszli nauczyciele edukację rozpoczynają od zajęć w szkole lub praktyki, a zajęcia teoretyczne (wykłady, ćwiczenia) są często prowadzone jednocześnie lub później. Oznacza to, że student, przyszły nauczyciel matematyki, często najpierw styka się z praktyką, a dopiero nieco później poznaje teoretyczne podstawy. Dlatego lekturę czy uczenie się z tej książki niekoniecznie trzeba zaczynać od pierwszego tomu, zwłaszcza, że trzy tomy tej książki są w pewnym zakresie autonomiczne.

Pierwszy tom jest poświęcony teoretycznym podstawom dydaktyki matematyki, na przykład teoriom matematycznego rozwoju człowieka. Teorie te są mocno osadzone w praktyce, ich podstawą bowiem jest praca z uczniami, eksperymenty. W tomie tym znajdziemy także omówienie celów nauczania matematyki, zasad, metod nauczania. Sporo miejsca poświęciłem pracy z uczniami zdolnymi, ale także z tymi, którzy wymagają specjalnej uwagi.

Drugi i trzeci tom mają bardziej praktyczny charakter. W drugim omówiłem problemy nauczania i uczenia się matematyki na poziomie szkoły podstawowej (klasy IV–VIII); krótko przedstawiłem w nim nauczanie wczesnoszkolne (klasy 0–III) – niezwykle ważny element edukacji matematycznej. Trzeci tom jest poświęcony nauczaniu i uczeniu się w szkołach ponadpodstawowych. Istotnym ich elementem jest technologia. Nie twierdzę, że zrewolucjonizowała ona uczenie się i nauczanie matematyki, ale bez wątpienia, rozsądnie ją wykorzystując, możemy uczyć efektywniej, ciekawiej. Poza tym nie możemy zapominać o pojawiającej się konieczności korzystania z technologii – w czasach obecnych i przyszłych pandemii nauczanie online bywa/będzie jedynym sposobem komunikacji nauczyciel–uczeń.

Kolejne rozdziały książki (również następnych tomów) składają się z wykładu, kilku ćwiczeń oraz zagadnień do dyskusji. Na końcu każdego rozdziału zamieściłem literaturę i krótki subiektywny komentarz na jej temat. W spisie literatury pojawiają się strony internetowe, które są bogatym źródłem informacji, często jedynym, zdarza się na przykład, że cenne książki, zwłaszcza te drukowane wiele lat temu, znajdują się tylko w jednej bibliotece, która na szczęście umieszcza plik ze skanem tej cennej pozycji na swojej stronie. Opinia, że wszystko można znaleźć w Internecie jest błędna, ale rozumne korzystanie z zasobów sieci ułatwia i wzbogaca pracę nauczyciela.

Wiele osób pomogło mi podczas pisania tej książki. Szczególne wyrazy wdzięczności kieruję do Pani Elżbiety Mrożek za cenne uwagi, do Pana Marcina Karpińskiego za wiele merytorycznych sugestii, do Pani Natalii Borowiec za konsultacje dotyczące nauczania uczniów ze specyficznymi problemami oraz do Pani Anny Walerzak-Więckowskiej za wiele uwag dotyczących dyskalkulii. Panu Karolowi Zawadzkiemu z Wydawnictwa Naukowego PWN dziękuję za uwierzenie, że warto wydawać książki z dydaktyki matematyki.

Piotr Zarzycki

Warzno, 2022 rok

I

Lekcja matematyki

Zanim opiszemy nauczanie matematyki, patrząc na nią z poziomu ogólnego, teorii, zajmiemy się lekcją matematyki, 45-minutowym w pewnym sensie spektaklem z udziałem uczniów i nauczycieli, przedstawieniem, w którym pośrednio biorą udział także rodzice lub opiekunowie uczniów. Wcześniej rzut oka na nauczanie matematyki na przestrzeni dziejów ([BR]).

Jak dawniej uczono matematyki?

Naszą krótką opowieść o edukacji matematycznej w zamierzchłych czasach zaczniemy od Sumerów[1] – cywilizacji sumeryjsko-babilońskiej zawdzięczamy pismo klinowe. Teksty były zapisywane na glinianych tabliczkach, nazywanych tabliczkami babilońskimi. Matematyka babilońska była oparta na systemie sześćdziesiątkowym. Można się zastanawiać, dlaczego wybrano liczbę 60. Jedna rzecz jest bezsporna – Babilończycy nie byli sześćdziesięciopalczaści. Na pewno podstawa systemu, liczba 60, pojawiła się dużo wcześniej niż wprowadzenie przez Babilończyków miary kąta pełnego, 360 stopni, co mogłoby oznaczać genezę pojawienia się liczby 60.

Spójrzmy na notację babilońską:

Symbol (trochę bardziej podłużny) oznacza jedność; biorąc odpowiednią liczbę takich znaków, możemy przedstawić liczby od 1 do 10, symbol reprezentuje 10; biorąc odpowiednią liczbę znaków lub , możemy zapisać liczby od 11 do 59. W starszych tabliczkach babilońskich nie używano zera, pojawiała się natomiast przerwa, która zastępowała 0 w zapisie liczby. Później pojawił się symbol , który oznaczał „przerwę” (cyfrę 0) w zapisie liczby. Jedną z niedogodności systemu babilońskiego była niejednoznaczność, na przykład zapis mógł oznaczać 11 lub 11 ⋅ 60, lub 11 ⋅ 60^2.

A jak wyglądało szkolnictwo w czasach Babilonu? Z zachowanych tabliczek babilońskich wynika, że matematyka miała charakter obliczeniowy, tabliczki-podręczniki zawierały zadania natury algorytmicznej. Do osiągnięć Babilończyków powrócimy w tomie II w związku z liczbą i przy omówieniu twierdzenia Pitagorasa.

W starożytnej Grecji nauczanie nie było obowiązkowe; w szkołach uczono dodawania, odejmowania i tabliczki mnożenia. Zupełnie inną rolę odgrywała Akademia Platońska, którą można uznać za jedną z pierwszych uczelni wyższych. Zajmowano się w niej przede wszystkim filozofią i matematyką, ale prawdopodobnie główną formą zajęć w tej szkole były stojące na wysokim poziomie intelektualnym dysputy. Problemem starożytnej Grecji było jej rozbicie na państwa-miasta.

Zupełnie inaczej uczono na przykład w Atenach, inaczej w Sparcie.

W starożytnym Rzymie pierwsze instytucje edukacyjne, tzw. scholae, funkcjonowały już w III wieku p.n.e. Ponieważ wszystkie szkoły były płatne, biedniejszych obywateli Rzymu nie było na nie stać. Dzieci tych obywateli podstawowe umiejętności (np. liczenia) nabywały w domu lub od najmłodszych lat były oddawane do nauki jako czeladnicy. Zamożniejsi przedstawiciele społeczeństwa rzymskiego oddawali dzieci do prywatnych szkół, w których ich latorośle mogły nauczyć się czytać i zawrzeć korzystne znajomości. Rzymska edukacja była podzielona na dwa rodzaje szkół: strachu i żądzy nauki. W jednych główną motywacją było uniknięcie bólu fizycznego zadawanego z powodu nieposłuszeństwa i nieprzygotowanych lekcji, w innych – dążenie do prowadzenia ożywionych sporów i wspólnego poszukiwania prawdy.

W średniowieczu w szkołach prowadzonych przez duchownych na lekcjach arytmetyki uczono działań potrzebnych do korzystania z kalendarza, nauka geometrii pozwalała zrozumieć proste pojęcia z geografii, ponadto mierzono niektóre figury płaskie i bryły przestrzenne. Pojawienie się od IX wieku uniwersytetów (Konstantynopol, Al-Azhar, Bagdad, Bolonia, Oxford, Paryż, Montpellier, Cambridge, Kraków) rozszerzyło zakres poznawanej matematyki i przygotowywało przyszłych nauczycieli do pracy w szkole. W 1773 roku powołano w Polsce Komisję Edukacji Narodowej – pierwsze na świecie ministerstwo oświaty. Nakazano uczyć arytmetyki i geometrii w szkołach podstawowych oraz matematyki we wszystkich klasach szkół średnich. Pierwsze podręczniki napisał Szwajcar, Szymon L’Huillier[2]. Spójrzmy na kilka stron z tego podręcznika; można je znaleźć na stronie [polona.pl].

Podsumowując, powszechność i zakres nauczanej matematyki na przestrzeni dziejów były coraz szersze. Jej rola znacznie wzrosła, gdy instytucje państwa zaczęły mieć istotny wpływ na program, podręczniki.

Lekcja – 45-minutowy spektakl

W spektaklu tym występuje, najczęściej w roli głównej, nauczyciel oraz uczniowie. Nauczyciel jest także reżyserem lekcji, ważne jest, aby stale nie obsadzał siebie w roli głównej. W języku łacińskim lectio oznacza czytanie. Początki dawniejszego szkolnego nauczania to właśnie taki model lekcji: nauczyciel czytał tekst, uczniowie powtarzali, dominowało zatem pamięciowe przyswajanie materiału. Na szczęście model lekcji (model nauczania) ewoluował, od lekcji ex cathedra (dosłownie z katedry, nauczanie autorytatywne, przedstawione w sposób niedopuszczający dyskusji) do modelu nauczania partnerskiego.

Pojęcie nauczania partnerskiego objaśnię na przykładzie. W latach dziewięćdziesiątych XX wieku obserwowałem lekcję w warszawskim przedszkolu (dla pięciolatków). Prowadząca zajęcia pokazała stojącą butelkę wypełnioną wodą, następnie położyła tę butelkę poziomo i zapytała: Czy teraz jest więcej, czy mniej, czy tyle samo wody co poprzednio? Zdecydowana większość dzieci odpowiedziała, że jest więcej wody. Niektóre tłumaczyły, że woda jest bardziej rozlana. Mądry, partnerski, nauczyciel nie narzuca swojego zdania, nie rozwiązuje problemu sam. Stwarza inną sytuację zbliżającą dziecko do konserwacji pojemności[3] – opowiada na przykład taką historyjkę: Ty i twój kolega jesteście spragnieni, stoją dwie jednakowe butelki z taką samą ilością wody, jedna się przewraca; bierzesz jedną, kolega drugą. Kto wypije więcej wody? Przekonałem się, że to zadziałało.

Na lekcji matematyki przekazywana jest pewna wiedza, uczniowie poznają pojęcia, definicje, twierdzenia. Najlepsze kryterium rozumienia przez uczniów wprowadzanej matematyki to poprawne rozwiązywanie zadań, w żadnym zaś przypadku nie chcemy, nie żądamy, aby uczeń potrafił powtórzyć podane przez nauczyciela lub podręcznik rozumowanie. Warto, aby w czasie lekcji spełnione były następujące warunki:

1. Stworzenie sytuacji problemowej, odwołanie się do doświadczeń, wiedzy uczniów.

2. Postawione problemy powinny być przystępne.

3. Ciekawe przedstawienie problemu powinno dostarczyć uczniom dostatecznej motywacji, aby się nim zająć.

4. Dostatecznie silna motywacja powinna wyzwolić aktywność ucznia.

Turnau [Tur] ujmuje te warunki w postaci następującego schematu:

Większość lekcji ma podobny schemat organizacyjny (oczywiście można ten schemat modyfikować lub zupełnie zmieniać): początek lekcji to sprawdzenie obecności, zadań domowych, przypomnienie tematu ostatniej lekcji, wprowadzenie kolejnego tematu, rozwiazywanie zadań, podsumowanie i wreszcie zapisanie zadania domowego i ewentualny komentarz do zadań domowych[4].

Istnieje wiele typów lekcji, ale dwa główne to: lekcje wprowadzające i lekcje utrwalające. Lekcje wprowadzające dotyczą nowych zagadnień. Na szczęście nie ma jakiegoś wzorca lekcji wprowadzającej, wszystko zależy od osobowości i inwencji nauczyciela, ale zawsze powtarzam studentom, że warto, aby w takiej lekcji znalazł się gwóźdź programu, czyli coś mocno zapadającego w pamięć, nietypowego, oryginalnego, na przykład przy omawianiu procentów autentyczne ulotki z informacjami na temat obniżek, przy prawdopodobieństwie – wypełnianie autentycznych zakładów na przykład gry Lotto i losowanie szczęśliwych numerów. Kiedy sięgam pamięcią do swoich lat szkolnych, to mógłbym wymienić zaledwie dwie, trzy lekcje, które „przeżyłem” i które pamiętam, właśnie być może z powodu owego gwoździa. Lekcje utrwalające są łatwiejsze do prowadzenia, rozwiązuje się zadania typowe, ale warto zadbać, aby znalazły się także zadania nietypowe.

Siedem ważnych elementów nauczania

W pracy nauczyciela pojawiają się następujące elementy:

Wiedza merytoryczna, czyli wszystkie pojęcia matematyczne, ich definicje, związki między definicjami twierdzenia i ich dowody, ogólnie teorie matematyczne wykorzystywane w szkole. W szkolnej rzeczywistości korzysta się z małej części wiedzy merytorycznej, którą dysponuje nauczyciel.

Spróbujmy się zastanowić, dlaczego posiadanie takiej bogatej „spiżarni” matematycznej jest ważne i potrzebne. Właśnie, czy ważne i potrzebne?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, bardzo lubię używać siatkarskiej metafory: siatkarze często trenują przy podwyższonej siatce. Podobnie nauczyciel powinien „trenować” matematykę, znacznie głębiej poznając problemy, zadania rozpatrywane w szkole. Nauczyciel jest na lekcji ekspertem, a ekspert wie więcej, rozumie głębiej, potrafi odpowiedzieć na trudniejsze pytania. Tutaj ważna uwaga: szkolna matematyka korzysta z osiągnięć matematyki jako dyscypliny naukowej, ale trzon programu szkolnej matematyki jest związany z matematyką co najwyżej XIX-wieczną. Program ten obejmuje fragmenty matematyki w zakresie nauki o liczbach, elementy geometrii, początkowe elementarne zagadnienia algebry, naukę o funkcjach, elementy rachunku różniczkowego; poza XIX wiek wykraczają rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Czy ten dystans da się skrócić? Jest to możliwe, ale w pewnym zdroworozsądkowym zakresie, bo nie ma szans i potrzeby, aby dystans ten był coraz mniejszy. Dystans między matematyką, dyscypliną naukową a szkolną matematyką w istocie jest ogromny, wprowadzenie do szkół najnowszych osiągnięć matematyki jest mało realne.

Wiedza o uczniu, czyli znajomość jego możliwości, psychiki. Wiedza ta ma oczywiście związek z teoriami pedagogicznymi i psychologicznymi, ale równie ważne są obserwacje nauczyciela. Ta wiedza zmienia się, jest wzbogacana, modyfikowana. Dotyczy ona na przykład typów zachowania uczniów i reakcji nauczyciela na takie czy inne ich zachowania (inaczej postępuje się z czwartoklasistą, a inaczej z maturzystą). Wiedza ta obejmuje także zdolność diagnozowania typu trudności z uczeniem się matematyki (dysleksja, dyskalkulia) i znajomość sposobów radzenia sobie z takimi trudnościami.

Wiedza o nauczycielu. Nauczyciel, osoba dorosła, znajduje się w grupie osób dużo od niego młodszych. To jest raczej nienaturalna sytuacja, która wymaga od nauczyciela zwrócenia uwagi na jego własną osobowość. Wiąże się to z postępowaniem wbrew sobie (cichy spokojny nauczyciel powinien niekiedy podnieść głos, niecierpliwy musi być bardziej wyrozumiały itp.), ale równocześnie niektóre działania nauczyciela mogą odzwierciedlać cechy jego osobowości, na przykład nauczyciel zainteresowany teatrem, aktorstwem lubi uczyć, stosując metodę dramy. Warto tutaj też wspomnieć o partnerstwie. Nauczyciel występuje w roli eksperta, ale nie osoby wszystkowiedzącej, może więc popełniać błędy, chociaż margines dopuszczalnych błędów jest dość wąski. Dlatego nauczyciel powinien być otwarty na sugestie uczniów, kolegów, rodziców. Partnerstwo jest korzystne dla nauczyciela, który powinien słychać, co mówią jego uczniowie. Do ilustracji ostatniej uwagi posłużę się przykładem lekcji w klasie czwartej SP, prowadzonej przez doświadczoną nauczycielkę. Lekcja dotyczyła pisemnego mnożenia liczb naturalnych, należało obliczyć iloczyn 35 ⋅ 23. Do odpowiedzi zgłosiła się Helenka, bardzo dobra uczennica, która to mnożenie wykonała tak:

Jest to tzw. mnożenie vedic (szerzej o algorytmach działań pisemnych piszemy w tomie II); jego schemat obrazuje diagram obok działania – jedności mnożymy przez jedności, następnie jedności przez dziesiątki i w końcu dziesiątki przez dziesiątki. Nauczycielka, wyraźnie niezadowolona i chyba przestraszona „wyczynem” Helenki, dość zdecydowanym tonem poprosiła ją o wykonanie mnożenia w zwykły sposób.

Rzemiosło, czyli znajomość metodyki nauczania matematyki. Warto użyć porównania z budowaniem domu: najpierw fundamenty, potem ściany, posadzki. Każda inna kolejność groziłaby katastrofą. Podobnie nauczyciel matematyki ucząc rachunków, zaczyna od nauki dodawania, potem pojawia się odejmowanie, mnożenie, wreszcie dzielenie. Rzemiosło to zatem wiedza, jak wprowadzać pojęcia matematyczne, jakich środków dydaktycznych używać. To także coś innego: kiedyś uprawnienia rzemieślnicze cech przyznawał po wielu latach praktykowania, liczyły się nie tylko umiejętności, ale także rzetelność, uczciwość. Uczciwość nauczycielska to na przykład sprawdzenie przez nauczyciela, czy zadania na klasówkę są odpowiednie, czyli wcześniejsze rozwiązanie ich z zegarkiem w ręku.

Wychowywanie. Uczniowie przebywają w szkole około sześciu godzin dziennie i uczą się nie tylko matematyki, języka polskiego czy historii. Każda lekcja w szkole to także lekcja punktualności, solidności, dobrego wychowania, kultury. Bardzo często nauczyciel musi korygować, usuwać złe nawyki uczniów. Nauczyciel matematyki jest też wychowawcą; nauczyciele często nie lubią tych wychowawczych obowiązków, ale nie mogą się od nich uchylać.

Wiedza o świecie. Matematyka nie jest nauką izolowaną, jedną z jej najważniejszych funkcji jest opisywanie otaczającego nas świata. Powinniśmy szukać jak najwięcej realnych sytuacji, w których używanie matematyki jest potrzebne. Można korzystać z gazet, z roczników statystycznych. Nauczyciel musi pamiętać o korzeniach i związkach matematyki z fizyką. Ważne jest, aby modna idea integracji przedmiotów, nie była tylko chwytliwym hasłem, ale aby kryły się za nią sensowne lekcje.

Wiedza o szkole jako instytucji, czyli znajomość hierarchii szkolnej, biurokracji, rytmu szkolnego, niepisanych zasad („co najwyżej jeden sprawdzian dziennie”), egzaminacyjnych wymagań, znajomość dokumentacji szkolnej. To także znajomość stopni nauczycielskich, systemu ich przyznawania, wymagań, terminów.

Siedem wymienionych elementów tworzy tangram nauczania.

Wymienione elementy nauczania są ściśle ze sobą związane i działają na zasadzie naczyń połączonych. Nadmierny nacisk na jeden z tych elementów niesie zawsze wielkie niebezpieczeństwo. Prawie zawsze na początku moich zajęć rozpoczynających serię zajęć z dydaktyki matematyki prosiłem o odpowiedź na pytanie: Który z siedmiu elementów nauczania jest dla mnie najważniejszy? Wyniki ankiet były dla mnie zaskakujące – najczęściej wybierano Wiedzę o uczniu (ponad 50%), kolejne było Rzemiosło (prawie 30%), a Wiedza merytoryczna (mniej niż 20%) na przestrzeni lat rzadko była wybierana jako priorytetowy element.

Osoby, które wiedzę o uczniu uważały jako najważniejszy element nauczania, uzasadniały swój wybór tak: Bardzo często powtarzanym błędem nauczycieli jest zniechęcanie ucznia do przedmiotu, a to wynika właśnie z niewiedzy o uczniu i braku zainteresowania nim.

Przykładowe uzasadnienia wyboru:

• wychowywania: wiele jest dzieci zaniedbanych przez rodziców;

• rzemiosła: posiadając wiedzę matematyczną, niekoniecznie umie się ją przekazać;

• wiedza o nauczycielu: znając siebie, lepiej będziemy przekazywać wiedzę merytoryczną;

• wiedza merytoryczna: nie może się zdarzyć, aby uczeń wiedział więcej niż nauczyciel.

Ćwiczenia

1. Jak wykorzystać „wyczyn” Helenki opisany na stronie 14? Czy algorytm vedic jest poprawny? Jak przekonać ucznia o „wyższości” standardowego algorytmu mnożenia nad mnożeniem vedic?

2. W rozdziale omówiono siedem elementów nauczania. Który z tych elementów jest dla ciebie najważniejszy? Uzasadnij swój wybór.

3. Zbierz informacje na temat systemu zapisywania liczb przez starożytnych Egipcjan. Zaplanuj zajęcia, wykorzystując wehikuł czasu: grupa twoich uczniów znajduje się w starożytnym Egipcie, na rynku. Uczniowie rozszyfrowują przygotowane przez ciebie ceny towarów napisane w notacji staroegipskiej, a następnie przygotowują swoje karteczki z cenami, pisząc na nich ceny w układzie dziesiątkowym i ceny w zapisie staroegipskim.

Zagadnienia do dyskusji

1. Wpisz w wyszukiwarce hasło: Jak uczono w starożytnej Sparcie, a jak w starożytnych Atenach? Opisz różnice między stylami nauczania w tych dwóch państwach-miastach.

2. Jak wyglądała szkoła w starożytnym Rzymie? Wypisz najciekawsze informacje dotyczące nauczania w starożytnym Rzymie. (Warto odwiedzić stronę womanadvice.pl/szkola-starozytnego-rzymu-jak-uczono-dzieci-przed-nasza-era).

3. Przypomnij sobie i opisz swoje lekcje matematyki. Co ci się w nich najbardziej, a co najmniej podobało? Czy pamiętasz jakieś lekcje z „gwoździem”?

4. Co myślisz o uzasadnieniach wyboru jednego z siedmiu elementów nauczania (s. 16)? Czy rzeczywiście nie może zdarzyć się tak, że uczeń wie więcej niż nauczyciel?

5. Podaj subiektywną listę siedmiu głównych „grzechów” nauczyciela matematyki dotyczących nauczania matematyki. Przedyskutuj swoją listę z koleżankami i kolegami z grupy. Ustalcie swoją wspólną listę.

Literatura

[BR] Rokowska Barbara (red.), Matematyka jako przedmiot szkolny, w: Wprowadzenie do wybranych zagadnień dydaktyki matematyki. Przewodnik po literaturze. Zagadnienia ogólne, Wydawnictwo Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław, s. 22–32 (1986).

[Tur] Turnau Stefan, Wykłady o nauczaniu matematyki, PWN, Warszawa (1990).

[polona.pl] https://polona.pl/item/algiebra-dla-szkol-narodowych,Nzk3ODc3Nzg/4/#info:metadata

Subiektywny komentarz dotyczący literatury

Praca [BR] zawiera bogatą bibliografię.

W podręczniku [Tur] można znaleźć sporo ciekawych spostrzeżeń na temat nauczania matematyki, ma on charakter swobodnej gawędy, cenne są przykłady z lekcji matematyki.

Strona [polona.pl] zawiera m.in. skany podręczników L’Huilliera (arytmetyka, algebra, geometria).

II

Cele nauczania matematyki

Kilka bardzo ogólnych uwag o dydaktyce matematyki

Termin dydaktyka pochodzi od greckiego słowa didaktikos – pouczający. Niekiedy dydaktykę matematyki określa się jako teorię nauczania matematyki. Dydaktyk matematyki zajmuje się podstawowymi problemami związanymi z uczeniem się i nauczaniem matematyki, bada również problemy bardziej praktyczne, takie jak dobór metod, środków nauczania, organizacji nauczania. W badaniach podejmowanych przez dydaktyków matematyki wykorzystuje się różne metody, m.in. obserwacje, eksperymenty, testy, ankiety, wywiady (nagrywane na dyktafonie lub filmowane), rozmowy, analizy dokumentów.

Czym nie jest dydaktyka matematyki? Przekonująco pisze o tym w części 1 Zarysu dydaktyki matematyki Zofia Krygowska [K1]: Dydaktyka matematyki to nie „recepty” dydaktyczne oparte na tym, co nam się indywidualnie wydaje. […] Wiemy, że jeszcze na niewiele pytań w tej dziedzinie umiemy z jaką taką pewnością odpowiedzieć. Zdajemy sobie sprawę, że być może nawet te odpowiedzi trzeba będzie korygować – i to z bardzo różnych powodów. Na przykład nie mamy do czynienia w szkole z niezmiennym, ahistorycznym typem ucznia. Studenci, przyszli nauczyciele matematyki, niekiedy kojarzą dydaktykę ze zbiorem gotowych recept, jak dobrze uczyć. Takich uniwersalnych recept nie ma, bo żadne dwie klasy w szkole (np. czwarte) nie są jednakowe. Poznajemy pewne zasady, ale recepty dla konkretnej klasy każdy nauczyciel musi wypracować sam. W książce, używając przenośni ze szkoły plastycznej, spróbujemy nauczyć się, jak trzymać pędzel, ale czy dzięki tej umiejętności namalujemy ładny obraz, na to nikt nie może dać gwarancji.

Dlaczego uczymy matematyki?

Gdyby zapytano mnie, dlaczego uczę matematyki, to pierwsza odpowiedź na tak zaskakujące pytanie byłaby taka: bo ją rozumiem i umiem. Może dodałbym jeszcze: bo matematyka jest piękna. Oczywiście tytułowe pytanie ma głębszy sens i postaram się na nie odpowiedzieć w pełniejszy sposób. Uczymy matematyki, ponieważ:

• jest potrzebna w życiu codziennym – używamy jej do rachunków, do obliczeń procentowych, podczas zakupów, na przykład glazury do łazienki itd.;

• symbolika matematyczna i terminologia są powszechnie używane;

• matematyka jest nieodzownym narzędziem do opisu zjawisk przyrodniczych, metody matematyczne stosuje się w wielu dziedzinach wiedzy (fizyka, chemia, biologia, lingwistyka);

• matematyka uczy logicznie myśleć i precyzyjnie wyrażać myśli.

Wskazany jako pierwszy aspekt utylitarny matematyki obecnie nie jest aż tak ważny, jak dawniej; z pewnym niepokojem można jednak zaobserwować, że dzięki technologiom (aplikacjom) wiele obliczeń może wykonać za nas kalkulator, komputer czy smartfon. Dlaczego z niepokojem? Otóż uczniowi w szkole może nie zależeć na opanowaniu podstawowych algorytmów, na przykład rachunkowych, wie bowiem, że zrobi to za niego przyzwoitej klasy telefon komórkowy czy arkusz kalkulacyjny.

Studenci przygotowujący się do zawodu nauczycielskiego na początku edukacji nauczycielskiej piszą scenariusze lub konspekty zajęć[5], które mają poprowadzić w szkole w ramach tzw. praktyk nauczania. Na początku scenariusza powinno się określić, jakie są cele lekcji, a studenci na ogół formułują je niezbyt precyzyjnie. Wynika to m.in. z braku zgody dydaktyków matematyki co do celów nauczania matematyki. Przytoczę teraz kilka poglądów na ten temat.

Cele nauczania matematyki (modyfikacja podejścia Turnaua)

W [Tur] Stefan Turnau dzieli cele nauczania matematyki na:

• poznawcze,

• wychowawcze.

Realizując cele poznawcze, staramy się wyposażyć ucznia w kompetencje, które opierają się na poznawanych przez niego pojęciach matematycznych. Cele wychowawcze dotyczą postaw i nawyków, które kształtują się w procesie dydaktycznym przez wykorzystanie jego społecznego charakteru oraz poprzez pozamatematyczne treści kształcenia [Tur].

Turnau wyróżnia trzy poziomy celów poznawczych (ogólny, specyficzny oraz najniższy dotyczący wyników nauczania związanych z programem nauczania). Cel poznawczy ogólny to kształtowanie umiejętności potrzebnych współczesnemu człowiekowi niezależnie od dziedziny jego działalności. Cel poznawczy specyficzny to na przykład kształtowanie umiejętności definiowania i posługiwania się definicją. Na poziomie najniższym istotna jest podstawa programowa matematyki, która dość często jest subiektywnym wyborem osób ją przygotowujących.

Przypisy

[1] Sumerowie to starożytny lud nieznanego pochodzenia, który pod koniec IV tysiąclecia p.n.e. stworzył wysoko rozwiniętą cywilizację w południowej Mezopotamii (dzisiejszy Irak). Sumeryjczycy posługiwali się językiem (sumeryjskim) i pismem klinowym. Na początku II tysiąclecia p.n.e. Sumerowie zostali podbici i wchłonięci przez nowo powstałe państwo – Babilonię.

[2] Ciekawe informacje zawarte są w artykule Marka Kordosa Szkoła Rycerska i Komisja Edukacji Narodowej, Delta, wrzesień 2016 (artykuł można znaleźć na stronie internetowej Delty).

[3] Konserwacja pojemności (objętości) oznacza, że dziecko wie, że np. w zakręconej butelce z wodą ilość tej wody nie ulegnie zmianie, gdy butelkę obrócimy, położymy poziomo itp.

[4] Podczas moich wizyt w szkole zauważyłem, że po podaniu zadania domowego uczniowie zaczynają się pakować, rozmawiać. Podsumowanie lekcji w tym momencie mija się z celem, nasi uczniowie myślą o zupełnie innych sprawach.

[5] Dokładniej o różnicy miedzy scenariuszem a konspektem piszemy w tomie II.