Tytuł oryginału

CALCULATING THE COSMOS.

HOW MATHEMATICS UNVEILS THE UNIVERSE

Copyright © Joat Enterprises 2016

All rights reserved

Projekt okładki

Katarzyna Wilk

Ilustracja na okładce

© andrey_/Shutterstock.com

Redaktor prowadzący

Adrian Markowski

Redakcja

Anna Kaniewska

Korekta

Marianna Chałupczak

ISBN 978-83-8123-601-0

Warszawa 2018

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

02-697 Warszawa, ul. Rzymowskiego 28

www.proszynski.pl

Prolog

Ależ ja je obliczyłem.

To odpowiedź Isaaca Newtona na pytanie Edmonda Halleya, skąd wiedział, że odkryte przez niego prawo przyciągania, wyrażone odwrotnością kwadratu odległości, wskazuje na eliptyczne orbity planet.

Cytat z książki

The Great Mathematicians

Herberta Westrena Turnbulla

Gdyby 12 listopada 2014 roku inteligentny przybysz z kosmosu obserwował Układ Słoneczny, to byłby świadkiem zagadkowego zdarzenia. Tego dnia maleńka sonda, która miesiącami podążała śladem komety obiegającej Słońce – taki uśpiony obserwator – nagle przebudziła się i wyrzuciła ze swego wnętrza jeszcze mniejszą sondę. Ta uderzyła w czarną jak węgiel powierzchnię komety, odbiła się od niej i w końcu zatrzymała nad urwiskiem przewrócona na bok.

Nie wywarłoby to zbyt wielkiego wrażenia na przybyszu z kosmosu, bo domyślałby się, że lądowanie nie przebiegło całkiem prawidłowo. Natomiast inżynierowie, którzy stworzyli obie sondy, osiągnęli niebywały sukces, doprowadzając do umieszczenia jednej z nich na komecie. Większa sonda nazywa się Rosetta, mniejsza Philae, a kometa to 67P/Czuriumow–Gierasimienko. Misję, która trwała dziesięć lat, przeprowadziła Europejska Agencja Kosmiczna. Pomimo odbicia przy lądowaniu Philae osiągnęła większość naukowych celów i przesłała na Ziemię ważne dane. A Rosetta nadal leci, tak jak zaplanowano.

Po co lądować na komecie? Komety są interesującymi obiektami i wszystko, co możemy na nich odkryć, jest użyteczne dla nauk podstawowych. Z bardziej praktycznego punktu widzenia można dodać, że ciała te od czasu do czasu zbliżają się do Ziemi, a kolizja z nimi grozi olbrzymimi zniszczeniami naszej planety, tak więc roztropność nakazuje zbadać, z czego się składają. Można zmienić orbitę ciała stałego za pomocą rakiety z bombą jądrową, ale gdyby kometa okazała się miękka i gąbczasta, mogłaby się rozpaść, co pogorszyłoby tylko problem. Jest jednak jeszcze trzeci powód. Komety zawierają materiał, który powstawał w okresie tworzenia się Układu Słonecznego, zatem moglibyśmy uzyskać istotne informacje o tym, jak ukształtował się świat, w którym żyjemy.

Astronomowie sądzą, że komety są brudnymi kulami śniegowymi, lodem pokrytym cienką warstwą pyłu. Philae, zanim wyczerpały się jej baterie i zamilkła, potwierdziła to w odniesieniu do komety 67P. Jeśli Ziemia uformowała się w takiej odległości od Słońca, w jakiej jest obecnie, to ma więcej wody, niż powinna. Skąd wziął się ten nadmiar? Jedną z możliwości jest to, że miliony komet bombardowały naszą planetę, gdy tworzył się Układ Słoneczny. Lód stopił się i powstały oceany. Co zadziwiające, możliwe jest sprawdzenie tej teorii. Woda składa się z wodoru i tlenu. Wodór występuje w trzech odmiennych postaciach atomowych zwanych izotopami; wszystkie izotopy mają tę samą liczbę protonów i elektronów (po jednym), ale różnią się liczbą neutronów. Zwykły wodór nie ma neutronów, deuter zaś – jeden, a tryt dwa. Jeśli ziemskie oceany pochodzą od komet, to proporcja izotopów w wodzie oceanów i w skorupie ziemskiej, która zawiera duże ilości wody, powinna być podobna do proporcji tych samych izotopów w kometach.

Analiza dokonana przez Philae wykazuje, że w porównaniu z Ziemią 67P zawiera znacznie więcej deuteru. Potrzeba więcej danych z komet, aby mieć całkowitą pewność, ale pochodzenie oceanów z komet zaczyna być wątpliwe. Lepiej postawić na asteroidy.

Zdjęcie „gumowej kaczki”, komety 67P, zrobione przez Rosettę

♦

Misja Rosetta jest tylko jednym z przykładów ludzkiej zdolności do posyłania maszyn w przestrzeń kosmiczną, zarówno w celu badań naukowych, jak i do codziennych zastosowań. Ta nowa technika rozszerzyła nasze aspiracje naukowe. Próbniki kosmiczne odwiedziły dotąd każdą planetę w Układzie Słonecznym oraz mniejsze ciała i przesłały na Ziemię ich zdjęcia.

Postęp jest szybki. Amerykańscy astronauci wylądowali na Księżycu w 1969 roku. Pojazd kosmiczny Pioneer 10, wysłany w 1972 roku, odwiedził Jowisza w drodze poza Układ Słoneczny. Po nim wystrzelono w 1973 roku Pioneera 11, który przeleciał także obok Saturna. W 1977 roku w celu dalszego badania tych światów i jeszcze odleglejszych planet, Urana i Neptuna, skierowano Voyagera 1 i Voyagera 2. Inne statki kosmiczne, wystrzeliwane przez inne państwa i ich grupy, odwiedziły Merkurego, Wenus i Marsa. Niektóre wylądowały nawet na Wenus i na Marsie, przesyłając na Ziemię bardzo wartościowe informacje. Gdy piszę te słowa w 2015 roku, Marsa bada pięć próbników orbitalnych1 i dwa posadowione na jego powierzchni2, Cassini pozostaje na orbicie wokół Saturna, statek kosmiczny Dawn orbituje wokół Ceres, dawnej asteroidy obecnie uznanej za planetę karłowatą, a inny, New Horizons, dopiero co przemknął obok Plutona i przesłał zadziwiające zdjęcia tej najbardziej znanej planety karłowatej w Układzie Słonecznym. Przesłane na Ziemię dane pozwolą rozwikłać tajemnice tego zagadkowego ciała niebieskiego i jego pięciu księżyców. Już teraz wskazują one na to, że Pluton jest tylko trochę większy od Eris, bardziej odleglej planety karłowatej wcześniej uważanej za największą. Plutona zakwalifikowano do rzędu planet karłowatych, aby pozbawić Eris statusu planety. Teraz odkrywamy, że nie trzeba było zawracać sobie tym głowy.

Obecnie zaczynamy badać mniejsze, ale równie interesujące ciała, księżyce, asteroidy i komety. Choć to nie Star Trek, to ostateczna granica powoli się otwiera.

Eksploracja przestrzeni kosmicznej należy do grupy badań podstawowych i choć większość z nas ciekawią odkrycia dotyczące planet, to są też tacy, którzy wolą, aby ich podatki wydawały bardziej ziemskie plony. Jednak gdy popatrzymy na życie codzienne, to okazuje się, że dokładne modele matematyczne oddziaływania ciał pod wpływem grawitacji dały światu mnóstwo nowinek technologicznych wykorzystujących sztuczne satelity Ziemi: telewizję satelitarną, bardzo wydajną międzynarodową sieć telefoniczną, satelity pogodowe, satelity obserwujące burze magnetyczne na Słońcu, analizujące zanieczyszczanie środowiska ziemskiego czy pozwalające na tworzenie dokładnych map – nawet nawigacja satelitarna w samochodzie używa GPS.

14 lipca 2015 roku próbnik kosmiczny NASA New Horizons przesłał na Ziemię historyczne zdjęcie Plutona, pierwsze ukazujące szczegóły powierzchni planety karłowatej.

Te osiągnięcia zadziwiłyby poprzednie generacje. Nawet w latach trzydziestych XX wieku większość ludzi była przekonana, że żaden człowiek nigdy nie stanie na Księżycu. (Do dzisiaj wielu naiwnych wyznawców teorii spiskowych wciąż tak uważa, ale nie warto o tym wspominać). Toczyły się nawet gorące dyskusje o samej możliwości lotu w kosmos3. Niektórzy twierdzili, nie zdając sobie sprawy z trzeciej zasady dynamiki Newtona – zgodnie z którą każda akcja wywołuje reakcję – że rakiety nie będą mogły się poruszać w próżni kosmicznej, ponieważ „nie ma tam niczego, na co można wywrzeć nacisk”4.

Poważni uczeni upierali się, że rakieta nigdy nie spełni pokładanych w niej oczekiwań, do wyniesienia jej na orbitę potrzebne jest bowiem paliwo, potem dodatkowe paliwo na wyniesienie samego paliwa, następnie dodatkowe paliwo na wyniesienie tego dodatkowego… choć już w czternastowiecznej chińskiej księdze Huolongjing (Instrukcja obsługi ognistego smoka) napisanej przez Jiao Yu zawarto rysunek ognistego smoka, czyli rakiety wielostopniowej. Ta chińska broń morska używała odrzucanych silników nośnych w celu wystrzelenia górnego członu ukształtowanego na podobieństwo głowy smoka ziejącej strzałami ognistymi z pyska. Pierwszego europejskiego eksperymentu z rakietą wielostopniową dokonał Conrad Haas w 1551 roku. Dwudziestowieczni pionierzy techniki rakietowej wskazywali, że pierwszy człon rakiety wielostopniowej powinien wynieść na odpowiednią wysokość drugi człon wraz z paliwem, zmniejszając stopniowo swą masę. Konstantin Ciołkowski opublikował w 1911 roku szczegółowe i realistyczne obliczenia dotyczące badania Układu Słonecznego.

Tak więc dolecieliśmy do Księżyca właśnie dzięki tym ideom, nad którymi krytykanci o ciasnych poglądach nie chcieli się zastanowić. Jak dotąd zbadaliśmy tylko nasze lokalne kosmiczne otoczenie, które wobec ogromu Wszechświata traci swe znaczenie. Nie wysłaliśmy jeszcze ludzi na inną planetę i nawet najbliższa gwiazda wydaje się całkowicie poza naszym zasięgiem. Przy użyciu obecnych technologii podróż do niej zajęłaby całe stulecia, nawet gdybyśmy umieli zbudować niezawodny statek kosmiczny. Mimo to podążamy w tym kierunku.

♦

Powyższe osiągnięcia zależały nie tylko od postępów technologii, ale przede wszystkim od wielu odkryć naukowych, które sięgają wstecz trzy tysiące lat aż do starożytnej Babilonii. Przy ich dokonywaniu niezwykle istotną rolę odgrywała zawsze matematyka. Inżynieria także, a odkrycia w innych dziedzinach nauki pomogły stworzyć odpowiednie materiały w celu zbudowania działającej sondy kosmicznej, lecz w mojej książce skoncentruję się na tym, jak matematyka pomogła nam w poznaniu Wszechświata.

Badania przestrzeni kosmicznej i matematyka splotły się ze sobą od czasów najwcześniejszych. Matematyka okazała się istotna dla poznania budowy i działania Słońca, Księżyca, planet, gwiazd i ogromnego wachlarza związanych z nimi obiektów, które razem tworzą kosmos – Wszechświat w wielkiej skali. Od tysięcy lat tworzyła ona najefektywniejsze metody zrozumienia, rejestracji i przewidywania zdarzeń kosmicznych. W pewnych kulturach, takich jak starożytne Indie około roku 500, matematyka była dziedziną astronomii. I na odwrót, zjawiska astronomiczne w ciągu trzech tysiącleci miały wielki wpływ na rozwój matematyki, począwszy od babilońskich przewidywań zaćmień Słońca aż do analizy matematycznej, teorii chaosu i krzywizny czasoprzestrzeni.

Początkowo rola matematyki w astronomii polegała na dokonywaniu zapisów obserwacji i wykonywaniu użytecznych obliczeń takich zjawisk jak zaćmienie Słońca, gdy Księżyc czasowo zasłaniał Słońce, albo zaćmień Księżyca, gdy Ziemia czasowo zasłaniała tarczę Księżyca. Rozmyślając o geometrii Układu Słonecznego, pionierzy astronomii zdali sobie sprawę z tego, że Ziemia obiega Słońce, chociaż z powierzchni naszej planety wyglądało to zupełnie odwrotnie. Starożytni połączyli obserwacje z geometrią, aby określić rozmiary Ziemi i wyznaczyć odległość do Księżyca i Słońca.

Bardziej zaawansowane układy astronomiczne zaczęły się pojawiać około roku 1600, gdy Johannes Kepler odkrył trzy matematyczne regularności – prawa dotyczące orbit planetarnych. W 1679 roku Isaac Newton dokonał ponownej interpretacji praw Keplera, co doprowadziło go do sformułowania ambitnej teorii, która opisywała już nie tylko ruch planet w Układzie Słonecznym, lecz także ruch każdego układu ciał niebieskich. Była to jego teoria grawitacji, jedno z największych odkryć opisane w dziele światowej sławy Philosophiae naturalis principia mathematica (Matematyczne zasady filozofii przyrody). Teoria grawitacji Newtona opisuje, jak każde z ciał tworzących Wszechświat przyciąga każde inne ciało.

Łącząc grawitację z innymi prawami matematyki opisującymi ruch ciał, stworzonymi przez Galileusza wiek wcześniej, Newton wyjaśnił i przewidział wiele zjawisk zachodzących w kosmosie. Bardziej ogólnie można by powiedzieć, że zmienił nasz sposób postrzegania świata natury, wywołując rewolucję naukową, która do tej pory napędza postęp w nauce. Newton pokazał, że zjawiska przyrody podlegają (często) relacjom matematycznym i dzięki zrozumieniu tych relacji możemy udoskonalić naszą wiedzę o przyrodzie. W jego czasach prawa matematyczne wyjaśniły to, co dzieje się na nieboskłonie, ale nie miały jeszcze praktycznych zastosowań innych niż nawigacja.

♦

To wszystko uległo zmianie, gdy w 1957 roku na niskiej orbicie wokół Ziemi pojawił się radziecki Sputnik, zapoczątkowując wyścig o zdobycie kosmosu. Gdy oglądamy mecz piłkarski albo operę, albo komedię, albo program naukowy nadawany przez telewizję satelitarną – to zbieramy realne owoce Newtonowskiej wnikliwości.

Początkowo jego sukcesy doprowadziły do sformułowania modelu Wszechświata przypominającego działanie mechanizmu zegarowego, w którym wszystko porusza się majestatycznie po trajektoriach wyznaczonych już w czasie tworzenia się kosmosu. Na przykład wierzono, że Układ Słoneczny powstał prawie dokładnie w swej obecnej postaci, z tymi samymi planetami poruszającymi się wzdłuż tych samych niemal kołowych orbit. Co prawda, wszystko uległo pewnemu wstrząsowi, gdy obserwacje aż nazbyt jasno ujawniły pewne zaburzenia zjawisk okresowych. Nadal jednak niewzruszona pozostała rozpowszechniona wiara w to, że w ciągu niezliczonych wieków nie mogło dojść do żadnej diametralnej zmiany, i nigdy do niej nie dojdzie. W ujęciu religii europejskiej nie do pomyślenia było, aby doskonała boska kreacja mogła być odmienna w przeszłości. Mechanistyczny punkt widzenia w odniesieniu do regularności i przewidywalności zjawisk kosmicznych trwał przez trzysta lat.

Jednakże już się skończył. Ostatnie odkrycia w dziedzinie matematyki, takie jak teoria chaosu, połączone z ogromną mocą obliczeniową współczesnych komputerów zdolnych do przetworzenia odpowiednich liczb z niebywałą prędkością, spowodowały zmianę naszego postrzegania kosmosu. Model Układu Słonecznego opartego na działaniu mechanizmu zegarowego pozostawał słuszny przez krótki odstęp czasu, a w astronomii milion lat jest zwykle krótkim odcinkiem czasu. Tymczasem nasze kosmiczne podwórko jest teraz uważane za miejsce, gdzie zachodziły i będą zachodzić zmiany. Tak, istnieją bardzo długie okresy regularnego zachodzenia zjawisk, ale od czasu do czasu są one przerywane przez wybuchy dzikiej aktywności. Niezmienne prawa, na których zbudowano model mechanizmu zegarowego Wszechświata, mogą także spowodować nagłe zmiany i bardzo nieregularne zachowanie.

Scenariusze, jakie przewidują uczeni, są często bardzo dramatyczne. Na przykład podczas formowania się Układu Słonecznego całe światy ulegały kolizjom, co w konsekwencji prowadziło do apokaliptycznych zniszczeń. Pewnego dnia w przyszłości prawdopodobnie powtórzą się takie zjawiska: istnieje niewielka szansa, że albo Merkury, albo Wenus ulegną zagładzie, ale nie wiemy dotąd z pewnością, którego z nich to będzie dotyczyć. A może obu planet i wtedy my także padniemy ofiarą? Dzięki podobnej katastrofie uformował się najprawdopodobniej Księżyc. Wygląda to na czystą fikcję naukową i tak właśnie jest, ale to „twarda” fikcja naukowa najlepszego gatunku, w której tylko fantastyczne nowe inwencje wykraczają poza dobrze znaną naukę. Z tym że tu nie ma fantastycznej inwencji, jest tylko nieoczekiwane odkrycie matematyczne.

Matematyka przenika naszą wiedzę o kosmosie w każdej skali: pochodzenie i ruch Księżyca, ruchy i formy planet oraz ich księżyców, złożoność asteroid, komet i obiektów w pasie Kuipera, ociężały kosmiczny taniec całego Układu Słonecznego. Nauczyła nas, jak dzięki oddziaływaniu z Jowiszem wystrzeliwane są asteroidy w kierunku Marsa, a potem w kierunku Ziemi; dlaczego nie tylko Saturn ma pierścienie; jak one powstały i dlaczego tworzą w nich plecione pasma, zmarszczki i dziwne wirujące „szprychy”. Pokazała nam, jak pierścienie planetarne mogą wypluć z siebie księżyce, jeden po drugim.

Fajerwerki zastąpiły mechanizm zegarowy.

♦

Z kosmicznej perspektywy Układ Słoneczny jest tylko mało znaczącym zgrupowaniem skał wśród kwadrylionów innych. Gdy rozważamy Wszechświat w znacznie większej skali, matematyka odgrywa jeszcze bardziej znaczącą rolę. W tej dziedzinie rzadko można dokonać eksperymentów, a bezpośrednie obserwacje są trudne, dlatego podstawą naszego wnioskowania muszą być obserwacje pośrednie. Ludzie o wrogim nastawieniu do nauki często traktują takie wnioski jako pewien przejaw jej słabości. A w rzeczywistości siłą nauki jest zdolność do przewidywania zjawisk, których bezpośrednio nie jesteśmy w stanie obserwować, na podstawie obserwacji innych zjawisk, jakie możemy obserwować. Istnienie atomów zostało udowodnione na długo przed odkryciem pomysłowych mikroskopów pozwalających na bezpośrednie ich zobaczenie, choć samo „widzenie” zależy od kilku założeń dotyczących tego, jak powstają owe obrazy.

Matematyka jest potężną maszynerią logiczną: pozwala nam na dedukcję następstw alternatywnych hipotez dzięki badaniu ich logicznych implikacji. Gdy została sprzężona z fizyką jądrową – dziedziną już bardzo zmatematyzowaną – pozwoliła na wyjaśnienie dynamiki gwiazd, z ich mnogością typów, zróżnicowanym składem chemicznym i jądrowym, skomplikowanym polem magnetycznym i ciemnymi plamami na Słońcu. Dzięki niej zrozumieliśmy tendencję gwiazd do grupowania się w galaktyki, oddzielone od siebie nawzajem jeszcze większymi obszarami próżni, oraz dlaczego galaktyki mają tak interesujące kształty. Mówi nam także, dlaczego galaktyki grupują się w gromady, oddzielone od siebie jeszcze większymi obszarami próżni.

Istnieje jeszcze większa skala, ta dotycząca Wszechświata jako całości. To dziedzina kosmologii. Tutaj źródłem racjonalnej ludzkiej inspiracji jest wyłącznie matematyka. Możemy zobaczyć pewne aspekty Wszechświata, ale nie da się przeprowadzać na nim eksperymentów. Matematyka pomaga nam interpretować obserwacje, umożliwiając porównanie tego, co wynika z alternatywnych teorii. Nawet jednak mimo takiej ogólności rozważań ich źródła są bardzo nam bliskie. Ogólna teoria względności Alberta Einsteina, w której siłę grawitacji zastąpiła krzywizna czasoprzestrzeni, zdetronizowała klasyczną fizykę Newtona. Zaaprobowaliby to starożytni geometrzy i filozofowie: dynamika została zredukowana do geometrii. Einstein doczekał się potwierdzenia swej teorii dzięki dwóm zjawiskom, które na jej podstawie przewidział: znanym, ale zagadkowym zmianom orbity Merkurego i zaginaniu promieni świetlnych przechodzących w pobliżu Słońca, zaobserwowanych podczas zaćmienia w 1919 roku. Mimo to nie zdołał przewidzieć, że jego teoria doprowadzi do odkrycia najdziwniejszych obiektów w całym Wszechświecie: czarnych dziur, tak masywnych, że nawet światło nie jest w stanie uciec z ich pola grawitacyjnego.

Z pewnością także nie przewidziałby jednej z potencjalnych konsekwencji swej teorii, teorii Wielkiego Wybuchu. To hipoteza zakładająca, że w przeszłości Wszechświat powstał z pojedynczego punktu w pewnego rodzaju eksplozji, zgodnie ze współczesnymi oszacowaniami około 13,8 miliarda lat temu. To czasoprzestrzeń eksplodowała, a nie coś wewnątrz czasoprzestrzeni. Pierwszych dowodów na potwierdzenie tej teorii dostarczyły obserwacje rozszerzającego się Wszechświata dokonane przez Edwina Hubble’a. Gdy cofnie się czas, wszystko zbiega się w jednym punkcie w przeszłości, a gdy czas zaczyna płynąć normalnie, z tego miejsca powracamy do „tu i teraz”.

Einstein ubolewał, że mógł to przewidzieć, gdyby uwierzył własnym równaniom. Stąd wiemy, że nie oczekiwał tego zjawiska.

W nauce nowe odpowiedzi otwierają nowe tajemnice. Jedną z największych jest ciemna materia, zupełnie nowy rodzaj materii, która wyjaśnia obserwacje obrotu galaktyk w ramach obowiązującej teorii grawitacji. Jednak poszukiwania ciemnej materii na razie nie dały żadnych wyników. Potrzebne są ponadto dwa inne dodatki do oryginalnej teorii Wielkiego Wybuchu, aby zachowała swoją poprawność w odniesieniu do Wszechświata. Jednym jest inflacja, zjawisko powodujące, że Wszechświat ogromnie się rozszerzył w naprawdę niewielkim interwale czasu. Jest ona niezbędna do wytłumaczenia, dlaczego rozkład materii w obecnym Wszechświecie jest prawie, lecz nie całkiem jednorodny. Innym dodatkiem jest ciemna energia, tajemnicza siła, która powoduje coraz szybsze rozszerzanie się Wszechświata.

Wielki Wybuch akceptuje większość kosmologów, ale tylko wtedy, gdy wszystkie trzy dodatki – ciemna materia, inflacja i ciemna energia – są w nim obecne. Jednak, jak się przekonamy, każde z tych dei ex machina wraz ze swym pojawieniem generuje swoiste dla siebie problemy. Współczesna kosmologia nie wydaje się już tak bezpieczna, jak była dekadę temu, bo rewolucja już się zaczyna.

♦

Newtonowska grawitacja nie była pierwszą zależnością matematyczną odkrytą w przestworzach, lecz skrystalizowała zarówno podejście do zjawisk przyrody, jak i wszystko to, co do czasu jej odkrycia osiągnięto. Stanowi motyw przewodni Obliczania Wszechświata, jest głównym tematem książki. Istnieją mianowicie pewne wzorce ruchu i struktury zarówno ciał niebieskich, jak i ziemskich, od najmniejszych cząstek pyłu do Wszechświata jako całości. Zrozumienie tych wzorców pozwoli nam nie tylko wyjaśnić kosmos, ale także zbadać go i wykorzystać oraz zabezpieczyć się przed nim.

Możliwe, że największy przełom polega na zdaniu sobie sprawy z tego, iż istnieją pewne wzorce zachodzenia zjawisk. Dzięki temu wiemy, czego szukać, i choć trudno czasami znaleźć rozwiązania, problem sprowadza się tylko do zagadnień rachunkowych. Czasami trzeba wymyślić nowe idee matematyczne i nie twierdzę, że jest to łatwe lub proste. To długotrwała gra, która wciąż się toczy.

Podejście Newtona wywołało także typowy odruch. Gdy tylko to odkrycie wylęgło się ze skorupki, matematycy zaczęli się zastanawiać, czy podobne idee mogłyby rozwiązać także inne problemy. Pragnienie uogólniania wszystkiego głęboko tkwi w psychice matematyków. Nie można winić Nicolasa Bourbakiego5 i „nowej matematyki”: to dążenie sięga wstecz do epoki Euklidesa i Pitagorasa. Dzięki takiemu myśleniu powstały metody matematyczne fizyki. Współcześni Newtonowi, głównie w Europie kontynentalnej, zastosowali prawa obowiązujące w kosmosie do rozwiązywania zagadnień ciepła, dźwięku, światła, sprężystości, a później elektryczności i magnetyzmu. I stało się coraz bardziej jasne, że:

Natura ma swe prawa.

Mają one postać matematyczną.

Możemy je odkrywać.

Możemy je także wykorzystywać.

Oczywiście nie było tak prosto.

1 Mars Odyssey, Mars Express, MRO, Mars Orbiter Mission i MAVEN.

2 Łaziki Opportunity i Curiosity. Łazik Spirit przestał funkcjonować w 2011 roku.

3 „Ów głupi pomysł wystrzelenia na Księżyc jest przykładem absurdu, do jakiego doprowadzi uczonych ta piekielna specjalizacja. Aby uciec z grawitacji ziemskiej, pocisk potrzebuje prędkości 7 mil na sekundę. Energia cieplna przy tej prędkości wynosi 15 180 kalorii [na gram]. Stąd ta propozycja wydaje się fundamentalnie niemożliwa” (Alexander Bickerton, profesor chemii, 1926 rok).

„Mam odwagę powiedzieć, że podróż człowieka na Księżyc nigdy się nie odbędzie bez względu na wszelki postęp naukowy”(Lee De Forest, wynalazca elektronik, 1957 rok).

„Nie ma nadziei dla dziwacznego pomysłu dotarcia na Księżyc z powodu bariery nie do pokonania uniemożliwiającej ucieczkę od ziemskiej grawitacji” (Forrest Moulton, astronom, 1932 rok).

4 W 1920 roku w artykule wstępnym w „New York Times” pisano: „Profesor Goddard […] nie zna zasady akcja – reakcja i potrzeby istnienia czegoś lepszego niż próżnia, na którą mogłaby oddziałać reakcja”. Trzecie prawo ruchu Newtona głosi, że każda akcja wywołuje równą i skierowaną przeciwnie reakcję. Reakcja wynika z zasady zachowania pędu i do wywarcia przeciwnie skierowanej siły nie jest potrzebne żadne medium, utrudniłoby ono bowiem ruch, zamiast go wspomagać. Aby oddać sprawiedliwość, gazeta przeprosiła w 1969 roku, gdy astronauci z Apollo 11 byli w drodze na Księżyc. Najwyraźniej w redakcji przewidują równe i przeciwnie brzmiące odwołanie do każdej publikacji.

5 Nicolas Bourbaki to pseudonim wciąż zmieniającej skład grupy matematyków, głównie francuskich, powstałej w 1935 roku, która napisała długą serię książek dokonujących ponownego, lecz bardziej abstrakcyjnego sformułowania podstaw matematyki. Stanowiło to wielki krok dla badań matematycznych, ponieważ zunifikowano tę dziedzinę, uporządkowano podstawowe koncepcje i zaproponowano ścisłe dowody. Jednakże szeroka adaptacja podobnej filozofii do nauki matematyki w szkołach, znana jako „nowa matematyka”, zyskała nikłe powodzenie i okazała się, delikatnie mówiąc, kontrowersyjna.

Rozdział 1

Przyciąganie na odległość

Makiawel tu, Makiawel tam

To kot, co ciągle mąci nam.

On łamie każde z ludzkich praw

I za nic grawitację ma.

Thomas Stearns Eliot, Koty6

Dlaczego przedmioty spadają?

Niektóre nie. Z pewnością nie Makiawel. Oraz Słońce, Księżyc i prawie wszystko, co „tam na górze” w niebie jest. Chociaż z nieba czasami spadają skały, jak odkryły to dinozaury ku swej zgubie. Tutaj w dole, owszem, latają owady, ptaki i nietoperze, ale nie czynią tego wiecznie. Prawie wszystko inne spada, o ile nie jest przez coś podtrzymywane. Tymczasem tam w górze nic tego wszystkiego nie podtrzymuje – a jednak to nie spada.

To, co w górze, wydaje się całkiem odmienne od tego, co jest tu na dole.

Trzeba było przebłysku geniuszu, aby zdać sobie sprawę, że to, co powoduje spadanie ciał ziemskich, jest tym samym, co utrzymuje ciała niebieskie na niebie. Jak głosi wieść, Newton porównał spadające jabłko do Księżyca i uświadomił sobie, że nasz satelita utrzymuje się na nieboskłonie, bo w odróżnieniu od jabłka porusza się także w bok7. W rzeczywistości Księżyc jest w stanie permanentnego spadania, ale powierzchnia Ziemi ucieka od niego w tym samym tempie. Tak więc Księżyc, spadając wiecznie, będzie okrążał Ziemię i nigdy w nią nie uderzy.

W istocie nie chodzi o to, że jabłka spadają, a Księżyc nie, ale o to, że nie poruszają się one w bok na tyle szybko, aby ominąć Ziemię.

Newton był matematykiem (fizykiem, chemikiem i mistykiem), dlatego wykonał kilka obliczeń, aby potwierdzić swe radykalne pomysły. Obliczył siły, jakie muszą działać na jabłko i na Księżyc, aby mogły się one poruszać swymi odrębnymi trajektoriami. Pomimo różnych mas tych obiektów siły okazały się identyczne. To przekonało go, że Ziemia musi przyciągać ku sobie zarówno jabłko, jak i Księżyc. W sposób naturalny należało przypuszczać, że ten sam typ przyciągania obowiązuje dla każdej pary ciał, ziemskich czy też niebieskich. Newton ujął te siły przyciągania za pomocą równania matematycznego, prawa przyrody.

Niezwykłą konsekwencją tego prawa jest to, że nie tylko Ziemia przyciąga jabłko: ono także przyciąga Ziemię. I Księżyc, i wszystko inne we Wszechświecie. Jednak efekt przyciągania Ziemi przez jabłko jest o wiele za słaby, aby go zmierzyć, w przeciwieństwie do efektu przyciągania jabłka przez Ziemię.

To odkrycie oznaczało ogromny triumf, dostrzeżenie głębokiego i precyzyjnego związku matematyki ze światem naturalnym. Miało także inną ważną implikację, niedostrzeganą wśród zawiłości rachunkowych: wbrew pozorom „to na górze” pod pewnymi podstawowymi względami zachodzi tak samo jak „to na dole”. Prawa są dla obu identyczne. Różnią się jedynie kontekstem, w jakim działają.

Tajemniczą siłę Newtona nazywamy „grawitacją”. I możemy obliczyć jej efekty z niespotykaną dokładnością. Ale wciąż jej nie rozumiemy.

♦

Przez długi czas myśleliśmy, że rozumiemy. Około 350 roku p.n.e. grecki filozof Arystoteles wskazał prosty powód, dlaczego rzeczy spadają: po prostu dążą do swego naturalnego miejsca spoczynku.

Aby w swych wywodach uniknąć błędnego koła, wyjaśnił także, co oznacza „miejsce naturalne”. Utrzymywał, że wszystko stworzone jest z czterech podstawowych żywiołów: ziemi, wody, powietrza i ognia. Naturalne miejsce spoczynku ziemi i wody to centrum Wszechświata, które oczywiście zbiega się z jądrem Ziemi. W ramach dowodu stwierdził, że Ziemia się nie porusza, bo żyjąc na niej, z pewnością zauważylibyśmy, gdyby tak się działo. A ponieważ ziemia jest cięższa od wody (bo tonie, prawda?), najniższe regiony są zajęte przez ziemię w formie sfery. Następnie występuje warstwa wody, a potem powietrza (powietrze jest lżejsze od wody, wszak bąbelki się unoszą). Ponad tym – ale poniżej sfery niebieskiej niosącej Księżyc – jest domena ognia. Wszystkie ciała albo się unoszą, albo opadają zgodnie z proporcją czterech żywiołów, z jakich są zbudowane.

Ta teoria pozwoliła Arystotelesowi na wysnucie wniosku, że ciała spadają z prędkością proporcjonalną do ich ciężaru (pióro spada wolniej niż kamień) i odwrotnie proporcjonalnie do gęstości otaczającego je ośrodka (kamienie spadają szybciej w powietrzu niż w wodzie). Osiągnąwszy swój naturalny stan spoczynku, ciało pozostaje tam, a poruszyć je z niego może tylko zastosowanie siły.

To, co głosiły owe teorie, nie było tak całkiem złe. W szczególności zgadzały się one z codziennym doświadczeniem. Na moim biurku, w czasie gdy piszę te słowa, leży pierwsze wydanie powieści Trójplanetarni, cytowanej na początku rozdziału 2. Jeśli nie będę jej ruszał, to będzie leżeć tam, gdzie jest. Gdy zaś przyłożę do niej siłę – popchnę ją – poruszy się o kilka centymetrów, jak zwykle wyhamuje i się zatrzyma.

Arystoteles miał rację.

I tak wydawało się przez dwa tysiące lat. Fizyka arystotelesowska, choć szeroko dyskutowana, była powszechnie akceptowana aż do końca XVI wieku przez prawie wszystkich ówczesnych intelektualistów. Wyjątkiem był uczony arabski Abu Ali Hasan Ibn al-Hajsam (Alhazen), który w XI wieku sprzeciwił się poglądom Arystotelesa na podstawie rozważań geometrycznych. Nawet jednak dzisiaj fizyka arystotelesowska odpowiada bardziej naszej intuicji niż idee Galileusza i Newtona, które ją zastąpiły.

Dla współczesnego rozumowania teoria Arystotelesa ma zbyt wielkie luki. Jedną z nich jest ciężar. Dlaczego piórko jest lżejsze od kamienia? Inną jest tarcie. Przypuśćmy, że umieszczę mój egzemplarz Trójplanetarnych na tafli lodowiska i go popchnę. Co się wówczas stanie? Książka będzie poruszać się dalej: znacznie dalej, gdy umieszczę ją na dwóch łyżwach. Tarcie powoduje, że ciało porusza się wolniej w kleistym – lepkim – ośrodku. W życiu codziennym jest ono wszechobecne i dlatego arystotelesowska fizyka odpowiada bardziej naszej intuicji niż fizyka Galileusza i Newtona. Ludzkie mózgi wytworzyły w czasie ewolucji wewnętrzny model ruchu z wbudowanym weń tarciem.

Teraz wiemy, że ciało spada ku Ziemi, ponieważ przyciąga je grawitacja planety. Ale czym jest grawitacja? Według Newtona jest to siła, ale nigdy nie wyjaśnił, jak ona powstaje. Po prostu jest. Działa na odległość bez pośrednictwa czegokolwiek. Tego także Newton nie wyjaśnił, po prostu tak jest. Einstein zastąpił siłę krzywizną czasoprzestrzeni, dzięki czemu „działanie na odległość” stało się nieistotne, i napisał równania określające, jak rozkład materii wpływa na krzywiznę – ale nie wyjaśnił, dlaczego krzywizna tak się zachowuje.

Przez tysiąclecia obliczano pewne aspekty kosmosu, takie jak zaćmienia, zanim zdano sobie sprawę z istnienia grawitacji. Gdy jednak już poznano jej rolę, obliczenia dotyczące kosmosu nabrały o wiele większej mocy. Podtytuł Newtona dla księgi 3 Principiów, w której opisał swe prawa ruchu i grawitację, brzmiał „O systemie świata”. Była to zaledwie niewielka przesada. Siła grawitacji i sposób, w jaki ciała reagują na siły, są centralne dla większości obliczeń odnoszących się do kosmosu. A zatem zanim dobrniemy do najnowszych odkryć, na przykład tego, jak planety mające pierścienie wyrzucają księżyce albo jak powstał Wszechświat, powinniśmy wyjaśnić pewne podstawowe idee dotyczące grawitacji.

♦

Zanim wynaleziono oświetlenie ulic, Księżyc i gwiazdy były tak powszednie dla większości ludzi jak rzeki, drzewa i góry. Gdy zachodziło Słońce, na niebie pojawiały się gwiazdy. Księżyc wędrował własną drogą, czasami pokazując się za dnia jak duch, ale świecąc znacznie mocniej nocą. Pomimo to zachodziły pewne regularne wzorce zachowań. Nawet każdy obserwujący sporadycznie Księżyc przez kilka miesięcy szybko zauważał, że co 28 dni podlega on regularnemu rytmowi zmian kształtu, od cienkiego półksiężyca do pełnego koła i na odwrót. Porusza się zauważalnie od nocy do nocy, zakreślając na niebie zamkniętą, powtarzającą się trajektorię.

Gwiazdy miały także własny rytm. Każdej doby obracały się wokół punktu stałego na niebie, jakby były namalowane wewnątrz powoli poruszającej się czaszy. Księga Rodzaju mówi o firmamencie niebieskim: hebrajskie słowo przetłumaczone jako „firmament” oznacza czaszę.

Obserwując niebo przez kilka miesięcy, można zauważyć, że pięć gwiazd, w tym niektóre najjaśniejsze, nie obraca się jak większość gwiazd „stałych”. Zamiast tkwić w czaszy, płyną powoli po niej. Grecy wiązali te zbłąkane kropeczki światła z Hermesem (posłańcem bogów), z Afrodytą (boginią miłości) i Kronosem (bogiem rolnictwa). Ich współczesne nazwy pochodzą od odpowiednich rzymskich bóstw: Merkury, Wenus, Mars, Jowisz i Saturn. Grecy nazywali je planetami, wędrowcami, stąd współczesna nazwa, a jest ich obecnie o trzy więcej, bo do tego zbioru dołączyły: Ziemia, Uran i Neptun. Ich tory ruchu były bardzo dziwne, pozornie nieprzewidywalne. Niektóre poruszały się względnie szybko, inne wolniej. Były i takie, które nawet w ciągu miesięcy zataczały pętle na niebie.

Większość ludzi akceptowała istnienie tych świateł w taki sam sposób, jak akceptowała istnienie rzek, drzew i gór. Tylko niektórzy zadawali pytania. Czym są te światełka? Jak i dlaczego się poruszają? Dlaczego w niektórych ruchach istnieją powtarzające się wzorce, podczas gdy w innych zostają one złamane?

Sumeryjczycy i Babilończycy pozostawili po sobie podstawowe dane obserwacyjne. Pisali na glinianych tabliczkach pismem klinowym. Wśród babilońskich tabliczek glinianych, które znaleźli archeolodzy, są katalogi gwiazd, wymieniające ich pozycje na niebie; są datowane na około 1200 lat p.n.e., ale prawdopodobnie to kopie starszych jeszcze tabliczek sumeryjskich. Greccy filozofowie i geometrzy, którzy poszli ich śladami, byli bardziej świadomi potrzeby stosowania logiki, dowodzenia i teorii. Byli poszukiwaczami matematycznych zależności; sekta pitagorejczyków stosowała to nastawienie do skrajności, wierząc, że cały Wszechświat oparty jest na liczbach. Dzisiejsi uczeni zgodziliby się z tym, ale nie we wszystkich szczegółach.

Klaudiusz Ptolemeusz, grecki geometra astronom i geograf, wywarł największy wpływ na myśl astronomiczną późniejszych generacji. Jego najwcześniejsza praca znana jest jako Almagest; przekład oryginalnego tytułu z języka arabskiego rozpoczynał się jako „matematyczna kompilacja”, by potem przekształcić się w „wielką kompilację”, a później w al-majisti – największą. Almagest przedstawiał w pełni opierzoną teorię ruchów planet opartą na tym, co Grecy uważali za najbardziej doskonałą formę geometryczną, mianowicie okręgach i sferach.

Planety nie poruszają się w istocie po okręgach. Nie byłoby to nowiną dla Babilończyków, ponieważ nie pasowało do ich tabel. Grecy poszli dalej i pytali, co mogłoby pasować. Ptolemeusz odpowiedział, że układ okręgów opisujących sfery. Najbliższy okrąg, „deferent”, opisuje sferę, która ma centrum w środku Ziemi. Drugi okrąg albo „epicykl” toczy się wzdłuż deferentu. Żadna para okręgów nie jest związana z innymi parami. Nie był to nowy pomysł. Dwa wieki wcześniej Arystoteles – opierając się na jeszcze wcześniejszych koncepcjach tego rodzaju – zaproponował złożony układ 55 koncentrycznych sfer. Sfery obracały się wokół osi mających różne bieguny i ruch sfery zewnętrznej przenosił się na sferę wewnętrzną. Modyfikacja Ptolemeusza polegała na użyciu mniejszej liczby sfer i była bardziej dokładna, ale wciąż niesłychanie skomplikowana. Obie teorie skłaniały do pytań, czy takie sfery istnieją realnie, czy są tylko dogodną fikcją, a może w rzeczywistości dzieje się zupełnie coś odmiennego.

♦

Przez następne tysiąc lat i więcej Europa zwróciła się ku zagadnieniom teologicznym i filozoficznym, opierając się głównie na tym, co powiedział o przyrodzie Arystoteles około 350 roku p.n.e. Wierzono, że Wszechświat jest geocentryczny i wszystko obraca się wokół nieruchomej Ziemi. Pochodnię wiedzy astronomicznej i matematycznej przeniesiono do Indii, Chin i na Półwysep Arabski. Jednak wraz z pojawieniem się włoskiego renesansu płomień wiedzy powrócił do Europy. Następnie trzej giganci naukowi odegrali wiodącą rolę w postępie wiedzy astronomicznej: byli to Galileusz, Kepler i Newton. Wspomagało ich wielu innych uczonych.

Galileusz znany jest z udoskonalenia teleskopu, za pomocą którego odkrył, że na Słońcu występują plamy, Jowisz ma (co najmniej) cztery księżyce, Wenus przechodzi fazy tak jak Księżyc i coś dziwnego dzieje się wokół Saturna – później wyjaśniono to układem pierścieni. Te dowody zmusiły go do odrzucenia teorii geocentrycznej i uznania heliocentrycznej koncepcji Mikołaja Kopernika, według której planety wraz z Ziemią okrążają Słońce, a to doprowadziło do konfliktu z Kościołem katolickim. Uczony ten dokonał także z pozoru trochę bardziej skromnego, ale równie ważnego odkrycia: matematycznej zależności występującej w ruchu obiektów takich jak kule armatnie. Tu, na ziemskim padole, swobodnie poruszające się ciało albo przyspiesza (gdy spada), albo zwalnia (gdy się wznosi) o wielkość, która jest taka sama w ustalonych, małych odcinkach czasu. Krótko mówiąc, przyspieszenie ciała jest stałe. Nie mając dokładnych zegarów, Galileusz obserwował te zjawiska za pośrednictwem staczania kul po równi pochyłej.

Następną ważną postacią jest Kepler. Jego mentor Tycho Brahe dokonał bardzo precyzyjnych pomiarów położenia Marsa. Gdy Tycho zmarł, Kepler odziedziczył jego stanowisko astronoma na dworze cesarza niemieckiego Rudolfa II, razem z zapiskami z obserwacji, i zabrał się do obliczenia prawdziwego kształtu orbity Marsa. Po pięćdziesięciu błędnych próbach doszedł do wniosku, że ma ona kształt elipsy – spłaszczonego okręgu. Słońce leży w szczególnym punkcie zwanym ogniskiem elipsy.

Elipsy znane były starożytnym greckim geometrom, którzy definiowali je jako przecięcie płaszczyzną powierzchni bocznej stożka. W zależności od kąta, pod jakim płaszczyzna przecina stożek, te „przekroje stożka” wyznaczają okręgi, elipsy, parabole i hiperbole.

Gdy planeta porusza się torem o kształcie elipsy, jej odległość od Słońca się zmienia. Kiedy zbliża się do Słońca, przyspiesza; gdy jest w większej odległości, zwalnia. To trochę zaskakujące, że te efekty przyczyniają się do stworzenia orbity, która ma ten sam kształt w obu swych końcach. Keplera zaskoczyło to zjawisko i przez długi czas był przekonany, że popełnił jakiś błąd.

Z lewej: Przekroje stożka. Po prawej: Podstawowe cechy elipsy.

Rozmiar i kształt elipsy wyznaczają dwie długości: jej oś większa, która jest linią najdłuższą łączącą dwa punkty na elipsie, oraz jej oś mniejsza, która jest prostopadła do osi większej. Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy, dla której te dwie odległości są jednakowe; określają one wtedy średnicę okręgu. Do celów astronomicznych bardziej naturalne jest pojęcie promienia – promień orbity kołowej jest odległością planety od Słońca – a odpowiednie wielkości dla elipsy są nazywane promieniem większym i promieniem mniejszym. Często niezgrabnie nazywa się je półosiami mniejszymi i półosiami większymi, ponieważ są połowami tych osi. Mniej intuicyjnym, lecz bardzo ważnym pojęciem jest mimośród elipsy, który określa, jak długa i szeroka jest ona. Mimośród dla okręgu wynosi 0, natomiast dąży do 1, gdy stosunek długości półosi mniejszej do długości półosi większej dąży do zera8.

Rozmiar i kształt orbity eliptycznej można scharakteryzować dwiema liczbami. Naturalnym wyborem jest długość półosi większej i mimośród. Długość półosi mniejszej można obliczyć na podstawie dwóch powyższych liczb. Długość półosi większej orbity ziemskiej wynosi 149,6 miliona kilometrów, a mimośród 0,0167. Długość półosi mniejszej wynosi zatem 149,58 miliona kilometrów, a więc orbita ta jest bliska okręgowi, jak wskazuje na to jej mimośród. Płaszczyzna, w jakiej leży orbita Ziemi, ma swoją specjalną nazwę: ekliptyka.

Przestrzenne położenie każdej innej orbity okrążającej Słońce można określić jeszcze trzema liczbami wyrażającymi kąty. Jedna z nich opisuje odchylenie orbity od płaszczyzny ekliptyki. Druga wyznacza kierunek osi głównej w tej płaszczyźnie. Trzecia opisuje kierunek linii, na której obie planety się spotkają. W końcu musimy wiedzieć, gdzie na orbicie znajduje się planeta, co wymaga określenia jeszcze jednego kąta. A więc wyznaczenie orbity planety i jej położenia na tej orbicie wymaga dwóch liczb i czterech kątów – sześciu elementów orbity. Głównym celem wczesnej astronomii było obliczanie elementów orbity każdej odkrywanej planety i asteroidy. Mając te liczby, można było przewidzieć przyszły ruch ciała, przynajmniej dopóty, dopóki skumulowane efekty oddziaływania innych ciał nie zaburzyły znacząco jego orbity.

Kepler w końcu wynalazł zbiór trzech eleganckich schematów matematycznych, teraz znanych jako jego prawa ruchu planet. Pierwsze z nich głosi, że orbita planety jest elipsą ze Słońcem w jednym z jej ognisk. Drugie mówi, że linia łącząca planetę ze Słońcem zakreśla równe powierzchnie orbity w równych odstępach czasu. A trzecie, że kwadrat okresu obiegu jest proporcjonalny do sześcianu odległości planety od Słońca.

♦

Newton sformułował wnioski Galileusza o wolno spadających ciałach w postaci trzech praw ruchu. Pierwsze z nich głosi, że ciało będzie poruszać się po linii prostej ze stałą prędkością, o ile nie działa na nie siła. Drugie mówi, że przyspieszenie dowolnego ciała pomnożone przez jego masę jest równe sile, jaka na nie działa. Zgodnie z trzecim każda akcja wywołuje równą jej i przeciwnie skierowaną reakcję. W 1687 roku Newton sformułował ponownie prawa ruchu planetarnego Keplera jako ogólną zasadę ruchu ciał niebieskich – prawo grawitacji, matematyczny wzór opisujący siłę, z jaką każde ciało przyciąga inne ciało.

Istotnie, wydedukował on swe prawo grawitacji z praw Keplera, robiąc jedno założenie: Słońce wywiera siłę przyciągającą, zawsze skierowaną ku jego środkowi. Na podstawie tego założenia Newton udowodnił, że siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. To wymyślny sposób na stwierdzenie, że na przykład potrojenie którejkolwiek z mas potraja także siłę grawitacji, ale już potrojenie odległości pomiędzy nimi zmniejsza siłę dziewięciokrotnie. Newton dowiódł także odwrotnej tezy: z jego „prawa odwrotności kwadratu” wynikają trzy prawa Keplera.

Słusznie należało mu się uznanie za prawo grawitacji, ale pomysł nie był jego. Kepler wymyślił coś podobnego za pomocą analogii do światła, ale myślał, że grawitacja popycha planety po ich orbitach. Ismail Bouillaud nie zgodził się z tym, dowodząc, że siła grawitacji musi być odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. W wykładzie dla Royal Society w 1666 Robert Hooke powiedział, że wszystkie ciała poruszają się po liniach prostych dopóty, dopóki nie działa na nie siła. A wszystkie ciała przyciągają się wzajemnie grawitacyjnie, przy czym siła grawitacji zmniejsza się wraz z odległością zgodnie z formułą, „której jeszcze nie znalazłem”. W 1679 roku rozstrzygnął wątpliwości na korzyść przyciągania według prawa odwrotności kwadratu i napisał o tym Newtonowi9. Hooke był wyraźnie urażony, gdy ta sama myśl ukazała się w Principiach, choć Newton powołał się na niego, a także na Halleya i Christophera Wrena.

Hooke zaakceptował tylko to, że Newton sam wymyślił zamknięte orbity eliptyczne. Newton wiedział, że prawo odwrotności kwadratu pozwala także na orbity paraboliczne i hiperboliczne, ale nie są one krzywymi zamkniętymi, zatem ruch na nich nie będzie powtarzać się okresowo. Tego typu orbity także mają zastosowanie w astronomii, głównie do opisu ruchu komet.

Prawo Newtona jest ogólniejsze od prawa Keplera z powodu jeszcze jednej cechy, raczej przewidywania niż twierdzenia. Newton zdał sobie sprawę, że skoro Ziemia przyciąga Księżyc, to wydaje się sensowne, że Księżyc powinien przyciągać także Ziemię. Oba ciała przypominają tancerzy trzymających się za ręce i wirujących wokół siebie. Każdy z nich czuje na ramieniu siłę wywieraną przez partnera. I każdy z tancerzy utrzymywany jest przez tę siłę na miejscu: jeśli się puszczą, to rozlecą się po parkiecie. Ziemia, będąc znacznie bardziej masywna od Księżyca, wygląda jak grubas tańczący z dzieckiem. Grubas stoi w miejscu, a dziecko wokół niego wiruje. Jednak przypatrzmy się dokładnie, a zobaczymy, że on także wiruje: jego stopy zakreślają małe koła, środek zaś, wokół którego się obraca, jest trochę bliżej dziecka niż wtedy, gdyby wirował sam.

To rozumowanie skłoniło Newtona do stwierdzenia, że każde ciało we Wszechświecie przyciąga każde inne ciało. A prawa Keplera dotyczą tylko dwóch ciał, Słońca i planety. Prawo Newtona stosuje się do każdego układu ciał, ponieważ określa zarówno wielkość, jak i kierunek wszystkich sił, jakie występują. Podstawiona do praw ruchu kombinacja wszystkich sił określi przyspieszenie każdego z ciał, a stąd prędkość i położenie w każdej chwili. Ogłoszenie prawa powszechnego ciążenia stało się wielkim momentem w historii nauki, odkrywając ukrytą matematyczną maszynerię, która uczyniła ze Wszechświata tykający mechanizm zegarowy.

♦

Prawa ruchu Newtona stworzyły trwały alians pomiędzy astronomią i matematyką, prowadzący do wszystkiego, co wiemy obecnie o kosmosie. Nawet jednak gdy rozumiemy, czym są te prawa, nie jest prosto stosować je do konkretnych problemów. W szczególności siła grawitacji jest „nieliniowa”, to takie matematyczne określenie sugerujące, że rozwiązania równań ruchu nie zawsze przybierają postać miłych wzorów. A w tym wypadku raczej dość paskudnych.

W erze, która nastąpiła po Newtonie, matematycy dawali sobie radę z tą przeszkodą, albo rozwiązując bardzo sztuczne (choć intrygujące) zagadnienia, takie jak trzy identyczne masy ułożone w wierzchołkach trójkąta równobocznego, albo rozwiązując w sposób przybliżony równania opisujące bardziej realistyczne problemy. To drugie podejście jest bardziej praktyczne, ale i pierwsze, pomimo swej sztuczności, pozwoliło sformułować wiele użytecznych pomysłów.

Przez długi czas następcy Newtona musieli wykonywać obliczenia ręcznie, co często było zajęciem wprost heroicznym. Ekstremalnym przykładem jest Charles-Eugène Delunay, który w 1846 roku zaczął w sposób przybliżony obliczać ruch Księżyca. Ten wyczyn zabrał mu ponad dwadzieścia lat, a rezultaty swych obliczeń opublikował w dwóch tomach. Każdy z nich miał więcej niż 900 stron, a tom drugi składał się wyłącznie ze wzorów matematycznych. Pod koniec XX wieku jego rozwiązania zostały sprawdzone za pomocą programu komputerowego do obliczeń symbolicznych (takiego, który potrafi przekształcać wzory matematyczne, a nie tylko liczby). Znaleziono tylko dwa drobne błędy, jeden wynikający z drugiego. I oba miały nieznaczny wpływ na wynik.

Prawa ruchu i grawitacja są wyrażone specjalnym typem równań, równaniami różniczkowymi. Równania te określają tempo, w jakim zmieniają się wielkości w miarę upływu czasu. Prędkość jest tempem zmiany położenia, przyspieszenie – tempem zmiany prędkości. Tempo, w jakim wielkość zmienia się teraz, pozwala przewidzieć jego wartość w przyszłości. Jeśli auto jedzie dziesięć metrów na sekundę, to za sekundę od tej chwili przejedzie dziesięć metrów. Ten typ obliczeń wymaga jednak, aby tempo zmiany było stałe. Jeśli auto przyspiesza, to za sekundę przejedzie więcej niż dziesięć metrów. Równania różniczkowe pozwalają na rozwiązanie takiego zagadnienia dzięki określeniu chwilowego tempa zmian. W rezultacie operują bardzo małymi przedziałami czasu, tak aby tempo zmiany w tym przedziale czasowym mogło być uważane za stałe. W istocie matematycy potrzebowali kilkuset lat, aby zrozumieć poprawność logiczną tej idei, bo żaden skończony przedział czasu nie może być chwilą, o ile nie jest zerowy, a przecież w przedziale czasu równym zeru nic nie ulega zmianie.

Komputery dokonały rewolucji w metodologii. Zamiast wyliczania przybliżonych wzorów dla ruchu, a potem podstawiania do nich liczb, można od początku pracować z liczbami. Przypuśćmy, że mamy przewidzieć, gdzie jakiś układ ciał – powiedzmy, księżyców Jowisza – znajdzie się za sto lat od tej chwili. Rozpoczniemy od początkowego położenia oraz ruchu Jowisza, jego księżyców i wszystkich innych ciał, które mogą okazać się ważne, takich jak Słońce i Saturn. Potem w maleńkich przedziałach czasu obliczamy, jak zmieniają się liczby opisujące wszystkie ciała. Powtarzamy taką procedurę, aż osiągniemy sto lat, i stop. Człowiek z ołówkiem w ręku i kartką papieru nie potrafiłby użyć tej metody w żadnym realistycznym zagadnieniu, bo zajęłoby mu to całe życie. Jednak z pomocą szybkich komputerów ta metoda staje się całkowicie wykonalna. A współczesne komputery są naprawdę szybkie.

Prawdę mówiąc, nie jest całkiem tak prosto. Chociaż błąd popełniany w każdym kroku (powodowany założeniem stałości tempa zmian, choć w rzeczywistości jest ono odrobinę zmienne) jest bardzo mały, musimy jednak wykonać ogromną liczbę kroków. Ogromna liczba kroków pomnożona przez maleńki błąd nie musi dać w wyniku małej liczby, ale dokładnie przemyślane metody pozwalają utrzymać błąd pod kontrolą. Tymi zagadnieniami zajmuje się dział matematyki zwany analizą numeryczną. Wygodnie jest takie metody nazwać „symulacjami”, co odzwierciedla ważną rolę komputera. Ważne jest to, aby zdać sobie sprawę, że nie można rozwiązać problemu po prostu przez „wrzucenie go do komputera”. Ktoś musi zaprogramować taką maszynę, aby jej obliczenia były realistyczne.

Te prawa są tak niezwykle doskonałe, że astronomowie mogą przewidzieć co do sekundy, setki lat w przyszłość, zaćmienia Słońca i Księżyca i sprawdzić, z dokładnością do kilku kilometrów, na jakim obszarze planety one wystąpią. Tych obliczeń można dokonywać wstecz w czasie, aby dowiedzieć się dokładnie, kiedy i gdzie wystąpiły zanotowane w annałach zaćmienia. Te dane na przykład umożliwiają określenie, kiedy tysiące lat temu chińscy astronomowie dokonali swych obserwacji.

♦

Nawet obecnie matematycy i fizycy odkrywają nowe i nieoczekiwane konsekwencje newtonowskiego prawa grawitacji. W 1993 roku Cris Moore, używając metod numerycznych, dowiódł, że trzy ciała o jednakowej masie mogą ciągle gonić się wzdłuż orbity o kształcie cyfry osiem, a w 2000 roku Carles Simó wykazał numerycznie, że orbita ta jest stabilna, z wyjątkiem być może słabego dryfu. W 2001 roku Alain Chenciner i Richard Montgomery na podstawie zasady najmniejszego działania, fundamentalnego twierdzenia mechaniki klasycznej10, znaleźli ścisły dowód na to, że taka orbita istnieje. Simó odkrył wiele podobnych „choreografii”, podczas których kilka ciał o takiej samej masie goni siebie nawzajem po tej samej (skomplikowanej) trajektorii11.

Wydaje się, że stabilność orbity trzech ciał o kształcie cyfry osiem utrzymuje się, nawet jeśli masy nieznacznie się różnią, co wskazuje na pewną możliwość, że trzy gwiazdy będą się zachowywać w ten niezwykły sposób. Douglas Heggie oszacował, że jeden taki układ potrójny mógłby występować w każdej galaktyce, co wskazuje na dużą szansę jego istnienia gdzieś we Wszechświecie.

Układ potrójny i jego orbita o kształcie cyfry osiem

Takie orbity leżą w płaszczyźnie, ale pojawiła się nowa trójwymiarowa możliwość. W 2015 roku Eugene Oks stwierdził, że niezwykłe orbity elektronów w „kwazicząsteczce Rydberga” mogłyby występować także w zagadnieniach newtonowskiej grawitacji. Wykazał, że planeta może być odbijana pomiędzy dwiema gwiazdami układu podwójnego po orbicie w kształcie linii śrubowej nawijającej się wokół linii łączącej obie gwiazdy12. Zwoje linii śrubowej są luźne w środku, ale zagęszczają się w pobliżu gwiazd. Można ją sobie wyobrazić jako slinky (zabawkę w kształcie sprężyny), rozciągniętą w środku i ściśniętą na końcach. Pomiędzy gwiazdami o różnych masach slinky powinna zwężać się jak stożek. Takie orbity mogą być stabilne, nawet jeśli gwiazdy nie poruszają się po okręgach.

Zapadające się pod wpływem własnej grawitacji chmury gazowe tworzą płaskie orbity, a więc jest mało prawdopodobne, aby na takiej orbicie powstała planeta. Jednakże na skutek zaburzenia planeta lub asteroida na bardzo odkształconej orbicie może zostać przechwycona przez układ podwójny gwiazd i po linii śrubowej poruszać się między nimi. Istnieją wstępne dowody na to, że Kepler-16b, orbitująca wokół odległej gwiazdy, mogłaby być jedną z tego typu planet.

♦

Jeden aspekt prawa Newtona sprawił swemu wielkiemu odkrywcy kłopot, a w istocie sprawił większy kłopot jemu niż większości tych, którzy korzystali z owoców jego pracy. Prawo bowiem opisuje siłę, jaką jedno ciało wywiera na drugie, ale nie opisuje, w jaki sposób działa ta siła. Postuluje jakieś tajemnicze „działanie na odległość”. Gdy Słońce przyciąga Ziemię, w jakiś sposób Ziemia musi „wiedzieć”, jak daleko jest od Słońca położona. Jeśli na przykład łączy je jakaś elastyczna lina, to ona mogłaby przenosić siłę, a teoria sprężystości pozwoliłaby określać, jak wielka jest ta siła. Tymczasem między Ziemią i Słońcem jest pusta przestrzeń. Skąd Słońce wie, jak silnie należy przyciągać Ziemię – albo skąd Ziemia wie, jak silnie ma być przyciągana?13

Działając pragmatycznie, możemy stosować prawo grawitacji i nie zastanawiać się nad fizycznym mechanizmem transmisji siły z jednego ciała na drugie. Tak mniej więcej postępują wszyscy. Niektórzy uczeni mają jednak zacięcie filozoficzne, a spektakularnym przykładem może tu być Albert Einstein. Jego szczególna teoria względności, opublikowana w 1905 roku, dokonała gruntownej zmiany poglądu na przestrzeń, czas i materię. Jej rozszerzenie do ogólnej teorii względności, dokonane w 1915 roku, zmieniło pogląd na grawitację i rozwiązało drażliwe pytanie o to, jak działa siła grawitacji na odległość. Teoria po prostu pozbyła się tej siły.

Einstein odkrył szczególną teorię względności, oparłszy się na jednym fundamentalnym założeniu: prędkość światła w próżni pozostaje niezmienna nawet wtedy, gdy obserwator porusza się ze stałą prędkością. W mechanice newtonowskiej, gdy poruszasz się w kabriolecie i wyrzucasz piłkę w kierunku, w którym porusza się samochód, prędkość piłki mierzona przez obserwatora stojącego na poboczu będzie sumą jej prędkości względem samochodu i prędkości pojazdu względem drogi. Podobnie jeśli włączysz światła samochodu, prędkość światła mierzona przez tego samego obserwatora powinna być sumą prędkości światła plus prędkość samochodu.

Dane eksperymentalne i pewne eksperymenty myślowe uzmysłowiły Einsteinowi, że światło się tak nie zachowuje. Jego obserwowana prędkość jest taka sama dla obserwatora na poboczu i dla kierowcy samochodu. Logiczne wnioski wypływające z tej zasady – które w moim mniemaniu powinny mieć nazwę bezwzględne – są zadziwiające. Nic nie może się poruszać szybciej niż światło w próżni14. Gdy prędkość ciała zbliża się do prędkości światła, kurczy się ono w kierunku ruchu, jego masa rośnie, a czas upływa mu znacznie wolniej. Po osiągnięciu prędkości światła – gdyby to było możliwe – ciało stałoby się nieskończenie cienkie, nieskończenie masywne, a czas by mu się zatrzymał. Masa i energia są ze sobą powiązane: energia równa się masie pomnożonej przez kwadrat prędkości światła. Na koniec zdarzenia, które dla jednego obserwatora zachodzą jednocześnie, mogą nie być jednoczesne dla innego obserwatora, który porusza się ze stałą prędkością względem pierwszego.

W mechanice newtonowskiej nie zachodzi żadne z tych dziwacznych zjawisk. Przestrzeń jest przestrzenią, a czas czasem i tej pary nie da się pogodzić. W szczególnej teorii względności przestrzeń i czas są w pewnym zakresie wymienne, a ów zakres jest ograniczony prędkością światła. Wspólnie tworzą one jedność zwaną kontinuum czasoprzestrzennym. Pomimo swych dziwnych przewidywań szczególna teoria względności stała się najbardziej dokładną teorią czasu i przestrzeni, jaką dotąd mamy. Większość jej szalonych efektów staje się widoczna, gdy obiekty poruszają się bardzo szybko, i dlatego nie obserwujemy ich w życiu codziennym.

Najbardziej oczywistym składnikiem, którego tu brakuje, jest grawitacja. Einstein spędził lata na usiłowaniach włączenia siły grawitacji do teorii względności, będąc częściowo motywowany przez anomalię orbity Merkurego15. W końcu udało mu się stworzyć ogólną teorię względności, która jest rozszerzeniem szczególnej teorii względności z „płaskiego” kontinuum czasoprzestrzennego na „zakrzywione”. Aby w zarysach zrozumieć, o co chodzi, rozpatrzymy czasoprzestrzeń o dwóch wymiarach zamiast trzech. Teraz czasoprzestrzeń staje się płaszczyzną i szczególna teoria względności opisuje ruch cząstek na tej płaszczyźnie. Pod nieobecność grawitacji poruszają się one po liniach prostych. Jak zauważył Euklides, linia prosta wyznacza najmniejszą odległość pomiędzy dwoma punktami. Aby uzyskać w tym obrazie grawitację, można wstawić gwiazdę. Cząstki nie będą już poruszać się po liniach prostych, zamiast tego będą orbitować wokół gwiazdy wzdłuż krzywych, takich jak elipsy.

W fizyce newtonowskiej te trajektorie odchylają się od linii prostych ze względu na działanie sił. W ogólnej teorii względności podobny efekt jest wywołany przez zakrzywienie czasoprzestrzeni. Przypuśćmy, że gwiazda zakrzywia płaszczyznę, tworząc okrągłe zagłębienie – „studnię grawitacyjną” z gwiazdą na jej dnie – i załóżmy, że poruszająca się cząstka wybiera tę trajektorię, która jest najkrótsza. W nomenklaturze matematycznej nazywa się ona geodetyką. Ponieważ kontinuum czasoprzestrzenne jest zakrzywione, geodetyki nie są już liniami prostymi. Na przykład cząstka może zostać schwytana w studni grawitacyjnej podczas okrążania jej na ustalonej wysokości, jak planeta na zamkniętej orbicie.

Zamiast hipotetycznej siły powodującej, że trajektoria cząstki się zakrzywia, Einstein wprowadził czasoprzestrzeń, która już jest zakrzywiona i której krzywizna wpływa na trajektorię poruszającej się cząstki. Niepotrzebne jest już działanie na odległość: czasoprzestrzeń jest zakrzywiona ze względu na obecność gwiazdy i orbitujące ciała reagują na występującą miejscowo krzywiznę. To, co my i Newton uważamy za grawitację i jej siłę, w rzeczywistości jest krzywizną czasoprzestrzeni.

Uczony podał wzory matematyczne, równania pola Einsteina16, które opisują, jak krzywizna wpływa na ruch mas i jak rozkład mas wpływa na krzywiznę. Pod nieobecność masy owe wzory redukują się do równań szczególnej teorii względności. A więc wszystkie te dziwne efekty, takie jak spowolnienie upływu czasu, występują także w ogólnej teorii względności. W istocie grawitacja może spowodować, aby czas zwolnił swój bieg, nawet w odniesieniu do obiektu, który się nie porusza. Zazwyczaj te paradoksalne efekty są bardzo małe, ale w ekstremalnych warunkach przewidywane przez obie teorie względności zachowanie ciał różni się znacznie od tego, co sugeruje fizyka newtonowska.

Efekt krzywizny/grawitacji dla trajektorii cząstki poruszającej się nieopodal gwiazdy lub planety

Myślicie, że to czyste szaleństwo? Wiele osób początkowo tak sądzi. Jednak każdy, kto używa nawigacji satelitarnej w samochodzie, polega zarówno na szczególnej, jak i ogólnej teorii względności. Obliczenia, które mówią nam, że jesteśmy na przedmieściach Bristolu i jedziemy na południe autostradą M32, opierają się na sygnałach czasu z satelitów krążących po orbicie. Układ scalony w nawigacji samochodowej wyliczający nasze położenie musi skorygować te sygnały czasowe ze względu na dwa efekty: prędkość, z jaką porusza się satelita, i jego położenie w studni grawitacyjnej Ziemi. Pierwsze zjawisko wymaga szczególnej teorii względności, a drugie – ogólnej teorii względności. Bez dokonywania tych korekt w ciągu kilku dni nawigacja umieściłaby nas pośrodku Atlantyku.

♦

Ogólna teoria względności pokazuje, że fizyka newtonowska nie opisuje prawdy, dokładnego „mechanizmu świata”, w który wierzyli zarówno Newton, jak i większość fizyków do początków XX wieku. Jednak odkrycie Einsteina nie zapowiada końca fizyki newtonowskiej. W rzeczywistości jest ona znacznie szerzej używana i ma bardziej praktyczne zastosowania niż w czasach Newtona. Fizyka newtonowska jest znacznie prostsza od obu teorii względności i okazuje się wystarczająco dobra w codziennych zastosowaniach. Różnice pomiędzy nimi stają się oczywiste dopiero w wypadku egzotycznych zjawisk, na przykład czarnych dziur. Astronomowie i inżynierowie od misji kosmicznych, głównie zatrudnieni przez rządy albo na kontraktach agencji rządowych takich jak NASA i ESA, wciąż używają mechaniki newtonowskiej w prawie wszystkich obliczeniach. Jest kilka wyjątków, gdy trzeba wprowadzać poprawki relatywistyczne. W miarę jak opowieść będzie się toczyć, przekonamy się o wciąż wielkim wpływie newtonowskiego prawa grawitacji. Ono naprawdę jest bardzo ważne, pozostaje jednym z największych odkryć w historii nauki.

Jednak w kosmologii – nauce o całości Wszechświata, a szczególnie jego początku – musimy zerwać z fizyką newtonowską. Nie pozwala ona bowiem wyjaśnić najważniejszych obserwacji. Zamiast niej musimy opierać się na ogólnej teorii względności wspomaganej przez mechanikę kwantową. A jak się wydaje, nawet te dwie wielkie teorie wymagają tu dodatkowej pomocy.

CIĄG DALSZY DOSTĘPNY W PEŁNEJ, PŁATNEJ WERSJI

PEŁNY SPIS TREŚCI:

Prolog

Rozdział 1. Przyciąganie na odległość

Rozdział 2. Kolaps mgławicy słonecznej

Rozdział 3. Zmienny Księżyc

Rozdział 4. Mechanizm zegarowy kosmosu

Rozdział 5. Policja nieba

Rozdział 6. Planeta, która połknęła swe dzieci

Rozdział 7. Gwiazdy Kosmy

Rozdział 8. Podróż naokoło Słońca

Rozdział 9. Chaos w kosmosie

Rozdział 10. Międzyplanetarna superautostrada

Rozdział 11. Wielkie kule ognia

Rozdział 12. Wielka kosmiczna rzeka

Rozdział 13. Obce światy

Rozdział 14. Ciemne gwiazdy

Rozdział 15. Węzły i pustki

Rozdział 16. Kosmiczne Jajo

Rozdział 17. Wielka awantura

Rozdział 18. Ciemna strona

Rozdział 19. Na zewnątrz Wszechświata

Epilog

Jednostki i żargon naukowy

Ilustracje

6 Przeł. Daniel Wyszogrodzki, z musicalu Koty z muzyką Andrew Lloyda Webera i tekstem Thomasa Stearns Eliota (przyp. red.).

7 W 1726 roku Newton spędził wieczór w Londynie, jedząc kolację z Williamem Stukeleyem. W dokumencie przechowywanym w archiwum Towarzystwa Królewskiego, którego archaiczną pisownię zachowuję, aby oddać klimat epoki, Stukeley pisał: „Po kolacji, jako że pogoda była ciepła, udaliśmy się do ogrodu, by wypić herbatę w cieniu jabłoni; tylko ja i on. Pośród innego dyskursu oznajmił mi, że owo pojęcie ciążenia już wcześniej przyszło mu na myśl w podobnych okolicznościach. Dlaczego jabłko zawsze ma spadać prostopadle do ziemi – zapytał sam siebie, obserwując w kontemplacyjnym nastroju spadający owoc. Dlaczego nie leci na bok albo do góry, tylko zawsze kieruje się ku środkowi Ziemi? Zapewne powodem tego jest fakt, że przyciąga je Ziemia. W materii musi zatem być jakaś siła ciągnąca. I w dodatku owa moc ciągnienia materii musi być skupiona w jej środku, a nie w żadnej innej części Ziemi. Czyżby dlatego jabłko padało prostopadle ku jej środkowi? Jeśli materia ciągnie materię, to owa siła ciągnąca musi pozostawać w proporcji do jej wielkości. Dlatego jabłko ciągnie Ziemię, zarówno jak Ziemia ciągnie jabłko”.

Inne źródła też potwierdzają, że Newton opowiedział tę historię, ale to nie uzasadnia jej prawdziwości. Uczony mógł ją wymyślić w celu wyjaśnienia swych idei. Wciąż rosnące i owocujące w jego posiadłości w Woolsthorpe drzewo – jabłoń odmiany Kwiat Kentu – uważa się za jedno z tych, z których spadło słynne jabłko.

8 Jeśli literą a oznaczymy długość półosi większej, a literą b długość półosi mniejszej, to ognisko będzie leżeć w odległości od środka elipsy. Mimośród wynosi wtedy

9 A. Koyré, Nieopublikowany list Roberta Hooke’a do Izaaka Newtona, „Isis” 1952, nr 43, s. 312–337.

10 A. Chenciner, R. Montgomery, A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses, „Annals of Mathematics” 2000, nr 152, s. 881–901. Animację i dalsze informacje o podobnych typach orbit można znaleźć na: http://www.scholarpedia.org/article/N-body_choreographies.

11 C. Simó, New families of solutions in N-body problems [w:] Proceedings of European Congress of Mathematics, Barcelona 2000.

12 E. Oks, Stable conic-helical orbits of planets around binary stars: analytical results, „Astrophysical Journal” 2015, nr 804, s. 106.

13 Newton tak to ujął w liście do Richarda Bentleya, napisanym w 1692 albo 1693 roku: „To niewyobrażalne, że materia nieożywiona bez Mediacji czegoś innego, co nie jest materialne, miałaby działać i wpływać na inną materię bez obustronnego Kontaktu […] To, że jedno ciało może oddziaływać na inne na odległość poprzez próżnię, bez Mediacji czegoś innego […] jest dla mnie tak wielkim absurdem, iż nie wierzę, by ktokolwiek, kto ma w materii filozoficznej jakiekolwiek wiarygodne zdolności myślenia, zdołałby wymyślić coś takiego”.

14 To trochę nazbyt uproszczone ujęcie. Zabronione jest samo przekraczanie prędkości światła. Nic poruszającego się wolniej od światła nie może przyspieszyć, aby stać się szybsze niż ono; jeśli zaś porusza się szybciej, to nie może zwolnić, aby być wolniejsze niż światło. Cząstki, które miałyby przekraczać tę prędkość, nazywane są tachionami i są całkowicie hipotetyczne.

15 W liście do swego przyjaciela Conrada Habichta Einstein pisał w 1907 roku: „jestem zajęty rozważaniami z zakresu teorii względności w związku z prawem ciążenia […] Mam nadzieję, że wytłumaczę dotychczas niewyjaśnione zmiany wiekowe peryhelium Merkurego”. Jego pierwsza istotna próba nastąpiła w 1911 roku.

16 Obecnie z równań Einsteina tworzymy pojedyncze równanie tensorowe (o dziesięciu składowych – asymetryczny tensor 4 stopnia). Mimo to „równania pola” pozostają wciąż standardową nazwą.