Projekt okładki i stron tytułowych: Barbara Niewiadomska

Autorka rysunków na stronach 73, 77, 104, 129, 137, 142, 149: Agnieszka Żelewska

Wydawca: Karol Zawadzki i Renata Włostowska

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redaktor: Irena Puchalska

Produkcja: Mariola Grzywacka

Skład i łamanie: ScanSystem.pl Ewa Szelatyńska

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w Internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2023

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2023 r. (wyd. I)

Warszawa 2023

ISBN 978-83-01-23151-4

DOI: https://doi.org/10.53271/2023.079

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 031

e-mail: pwn@pwn.com.pl; www.pwn.pl

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN: mobisfera.pl

Mojej Córce Natalii i

Wnuczkom Neli oraz Kalinie

Spis treści

Wstęp

Rozdział I Scenariusze i konspekty. Rola nauczyciela w edukacji

Rozdział II Nauczanie matematyki w okresie wczesnoszkolnym

Rozdział III Liczby w nauczaniu szkolnym

Rozdział IV Liczby naturalne w szkole podstawowej

Rozdział V Liczby wymierne w szkole podstawowej

Rozdział VI Liczby całkowite w szkole podstawowej

Rozdział VII Liczby rzeczywiste w szkole podstawowej

Rozdział VIII Technologie w nauczaniu liczb w szkole podstawowej

Rozdział IX Geometria w nauczaniu w szkole podstawowej

Rozdział X Planimetria, czyli geometria płaszczyzny w szkole podstawowej

Rozdział XI Stereometria, czyli geometria przestrzenna w szkole podstawowej

Rozdział XII Technologie w nauczaniu geometrii w szkole podstawowej

Rozdział XIII Algebra w szkole podstawowej

Rozdział XIV Technologie w nauczaniu algebry w szkole podstawowej

Rozdział XV Statystyka i prawdopodobieństwo w nauczaniu w szkole podstawowej

Rozdział XVI Technologie i gadżety w nauczaniu statystyki i prawdopodobieństwa w szkole podstawowej

Rozdział XVII Rozwiązywanie zadań w szkole podstawowej

Rozdział XVIII Szkoła podstawowa – zajęcia dodatkowe

Przypisy

Wstęp

Drugi tom „Dydaktyki matematyki” poświęcony jest zagadnieniom szczegółowym, związanym z nauczaniem matematyki w szkole podstawowej w klasach IV–VIII. Na początku przedstawiamy uwagi na temat ważnych, szczególnie na studiach i w pierwszych latach pracy w szkole, dokumentów, tzn. scenariusza i konspektu (niektórzy używają zamiennie tych słów, pokazujemy na czym polega różnica między oboma typami dokumentów).

W książce wyróżniamy cztery główne działy szkolnej matematyki: liczby, geometria, algebra oraz statystyka i rachunek prawdopodobieństwa. W każdym z tych działów omawiamy także wątek technologiczny – wykorzystanie matematycznego oprogramowania na przykład na lekcjach geometrii. Nie sposób omówić wszystkich zagadnień z programu szkoły podstawowej; nasz wybór dotyczy zagadnień spornych, na przykład, w jakim zakresie uczyć algorytmów działań pisemnych przy nasyceniu urządzeniami (kalkulatory, telefony, tablety, komputery, strony online). Inne kryterium wyboru ma osobisty charakter – wybrałem te tematy, które mnie jako matematyka interesują najbardziej; dociekliwy czytelnik z pewnością zauważy (np. w dziale liczby) niewielką, ale zauważalną dominację teorii liczb, w której autor-matematyk się specjalizuje.

Wybór tematów jest mocno związany z Podstawą Programową Matematyki (PPM) wytyczającą główne kierunki edukacji matematycznej w szkole; PPM nie jest niezmienna, ale jej trzon na szczęście podlega niewielkim modyfikacjom. Wierzymy, że ta nasza nadzieja nie jest płonna.

Chcielibyśmy we wstępie rozwiać wątpliwości – w tomie tym nie podajemy gotowych scenariuszy lekcji; niekiedy podsuwamy pomysły, jak wprowadzać jakieś pojęcie, jak przygotować tzw. gwóźdź programu na lekcję (co to oznacza piszemy w tomie I w rozdziale Lekcja matematyki). Dość często odnosimy się do tych zagadnień szkolnej matematyki, które budzą kontrowersje, na przykład zakres wprowadzania działań pisemnych na liczbach, dowody pewnych twierdzeń, używanie technologii na lekcjach matematyki. Każdy rozdział zawiera informacje o grach związanych z poruszaną tematyką, o „gadżetach” matematycznych, czyli na przykład łamigłówkach, pomocach do lekcji, które można kupić, ale można też wykonać samodzielnie. Wydzieliliśmy także cztery osobne rozdziały dotyczące używania technologii w uczeniu się i nauczaniu matematyki.

Za pomoc, uważną lekturę i wartościowe uwagi bardzo dziękuję Paniom Ewie Ignaczak, Annie Majzel i Elżbiecie Mrożek.

Piotr Zarzycki

Warzno, 2022 rok

Rozdział I Scenariusze i konspekty. Rola nauczyciela w edukacji

Omówimy dwa ważne dokumenty, które powinien przygotowywać przyszły lub początkujący nauczyciel matematyki; w miarę nabytego doświadczenia nauczyciele nie piszą zbyt rozbudowanych scenariuszy ani konspektów, chociaż bez wątpienia do każdej lekcji powinno się mieć skrótowy jej plan, w którym zapisano etapy lekcji wraz z zadaniami na lekcję, omawianymi wątkami. Jako nauczyciel z dużym doświadczeniem (głównie akademickim), ale także pracujący w szkole, zawsze taki plan posiadałem.

￼Scenariusz lekcji

Słowo scenariusz kojarzy się z filmem lub teatrem, a słownik języka polskiego definiuje go tak:

Tekst literacki stanowiący podstawę dzieła filmowego, zawierający szkic fabuły utworu, ramową charakterystykę postaci i scenerii wydarzeń oraz dialogi.

W tomie I, w rozdziale Lekcja matematyki, napisaliśmy, że lekcja to 45-minutowy teatrzyk. Trzymając się tej analogii, możemy powiedzieć, że scenariusz lekcji to szczegółowy plan lekcji zawierający informacje na temat organizacji zajęć i szczegółowy opis ich realizacji.

Przedstawimy scenariusz lekcji matematyki; to oczywiście nie jedyny „wzorzec”. W Internecie znajdują się setki przykładowych scenariuszy, ale w ramach zajęć, na przykład praktyki nauczania matematyki, warto trzymać się jednego wzorca. Scenariusz poniżej zapisano w postaci tabelki; podkreślmy, że:

- cele zapisano dość szczegółowo, ale nie powinno być ich zbyt wiele (maksimum 4 pozycje);

- metody (informacje o metodach nauczania matematyki można znaleźć w t. I, s. 19–26);

- środki dydaktyczne (nie wpisujemy tutaj tablicy, kredy, chociaż można je uznać za środki dydaktyczne);

- czas ma wyłącznie orientacyjny charakter, warto jednak zadbać o pewną dyscyplinę czasową;

- opis przedstawia, co nauczyciel zamierza zrobić po uporaniu się ze sprawami organizacyjno-porządkowymi; jeśli rozwiązywane będzie na przykład zadanie, to w opisie powinno się znaleźć rozwiązanie i odpowiedź, jeśli wprowadzenie jakiegoś pojęcia, to w opisie zawieramy przykładowe pytania, rysunki itp.;

- uwagi i komentarze zawierają m.in. wskazówki naprowadzające na tok rozwiązania, zadania podobne do rozwiązywanego.

W uwagach i komentarzach można wpisać hipotetyczne odpowiedzi uczniów lub nawet pełne dialogi dotyczące omawianego zagadnienia, rozwiązywanego zadania. Natomiast zdecydowanie odradzam pisanie uwag typu Uspokajam klasę, bo m.in. tym różni się lekcja od sceny filmowej czy teatralnej, że nigdy nie możemy mieć pewności, jak uczniowie będą zachowywać się w czasie lekcji.

Imię i nazwisko .................................... data lekcji ............

......... rok matematyki

Praktyka Nauczania Matematyki

SP nr ........., adres ........................................................................

Scenariusz lekcji

klasa VI ...

Temat: Zapisywanie wyrażeń algebraicznych

Cele

- opisywanie różnych sytuacji za pomocą wyrażeń algebraicznych

- kształtowanie umiejętności przekładu z języka potocznego na język symboli i odwrotnie – z języka symboli na język potoczny

- wprowadzenie konwencji dotyczących zapisu wyrażeń algebraicznych

Metody

- pogadanka

- wspólnym frontem

- ćwiczenia

Środki dydaktyczne

- slajdy z prezentacji

Literatura

- podręcznik (tytuł), autorzy, wydawnictwo, rok wydania

- zeszyt ćwiczeń, autorzy, wydawnictwo, rok wydania

- inne (zbiory zadań, źródła z Internetu)

Plan ogólny lekcji

1. Sprawy organizacyjno-porządkowe

2. Zapisywanie zdań za pomocą wyrażeń algebraicznych

3. Rozwiązywanie zadań z zeszytu ćwiczeń

4. Umowy dotyczące zapisywania niektórych wyrażeń algebraicznych

5. Podsumowanie

6. Omówienie pracy domowej

Plan szczegółowy lekcji

Etap i czas

Opis

Uwagi i komentarze

Sprawy organizacyjno-porządkowe

3’

1. Przywitanie się z uczniami, przedstawienie się

2. Nazywam się …, będziemy z wami co tydzień prowadzić lekcje z matematyki. Krótko o zeszytach …., o wymaganiach …

3. Sprawdzenie obecności

4. Sprawdzenie zadania domowego

5. Zapisanie tematu lekcji

Informacja o notatkach w zeszytach; zeszyty będą sprawdzane.

Zapisywanie zdań za pomocą wyrażeń algebraicznych

7’

1. Pytam uczniów, czy słyszeli o wyrażeniach algebraicznych. Krótka dyskusja na ten temat, uczniowie podają swoje przykłady.

2. Na slajdzie nr 2 znajduje się strona 171 [GWO_PVI]. Uczniowie ustnie odpowiadają na kolejne pytania.

3. Pytam, co jest charakterystycznego w wyrażeniach algebraicznych.

4. Rozwiązywanie wspólnym frontem ćwiczeń B, C (s. 172) z [GWO_PVI]. Uczniowie opowiadają z ławki.

Jeśli uczniowie będą mieli kłopoty, to naprowadzam ich, podając różne przykłady, np. wzory na pola figur płaskich.

Oczekiwana odpowiedź: występują w nich liczby, litery i działania.

Staram się, aby jak najwięcej uczniów odpowiadało.

Rozwiązywanie zadań z zeszytu ćwiczeń

20’

Rozwiązywane będą ćwiczenia 1–5 ze strony 3 [GWO_ZĆVI_3]; odpowiedzi:

1. ,

2. ;

3. a) , b) , c)

Nie oczekujemy, że uczniowie już na tym etapie wykonają redukcję lub opuszczą znak ⋅. Jeśli tak się stanie, poprośmy jednak o zapis pierwotny.

Umowy dotyczące zapisywania niektórych wyrażeń algebraicznych

7’

1. W ćwiczeniach 3–5 niektórzy uczniowie mogli zapisać wyrażenia algebraiczne prościej, np. zamiast 8⋅x, 8x, lub zamiast , . To pretekst do pokazania kolejnych slajdów.

2. Na slajdzie pokazują się animowane równości, tzn. na przykład najpierw , a potem ciąg dalszy: . Pokazane są oczywiście przykłady, gdy nie można pomijać znaku mnożenia.

Nie drążę problemu redukcji wyrazów podobnych.

Komentuję równości ze slajdu nr 3, uczniowie zapisują te równości w zeszytach.

Podsumowanie

4’

Pytania:

1. Czym zajmowaliśmy się na dzisiejszej lekcji? Podaj przykłady wyrażeń algebraicznych.

2. Opisz krótko, co to jest wyrażenie algebraiczne.

3. W jaki sposób możemy uprosić niektóre wyrażenia algebraiczne? Podaj kilka przykładów.

Czasami można poprosić ucznia o powtórzenie poprzedniej odpowiedzi, zwłaszcza, gdy jest to odpowiedź bez zarzutu.

Omówienie pracy domowej

4’

Na tablicy zapisuję pracę domową: ćwiczenia 6–11, strony 4–5 (zeszyt ćwiczeń do VI klasy GWO, dodatkowo wyświetlam ją na slajdzie nr …

Pożegnanie z uczniami, podziękowanie za lekcję.

Proszę, aby uczniowie w zapisach pominęli znak ⋅, jeśli jest to dopuszczalne.

Zadanie zapasowe

Podaj tekstową ilustrację do wyrażeń algebraicznych .

Powyższy scenariusz dotyczy lekcji przeprowadzonej w ramach praktyki nauczania matematyki i oczywiście może być obszerniejszy, bardziej szczegółowy. Jako prowadzący przez wiele lat praktyki nauczania matematyki w szkole czytałem i akceptowałem scenariusze nawet kilkunastostronicowe, zawierające bardzo rozbudowane dialogi nauczyciela z uczniami. Zmniejszone ekrany prezentacji można wklejać bezpośrednio do scenariusza.

Teraz zajmiemy się konspektem lekcji; słowo konspekt według słownika języka polskiego to zarys utworu, wykładu itp. ujęty w punktach. Ujmując najprościej, moim zdaniem konspekt lekcji to skrócona forma scenariusza lekcji. W Internecie można znaleźć mnóstwo przykładowych konspektów, dość często ich formy różnią się między sobą. Niektórzy używają słów scenariusz i konspekt jako synonimów. Chociaż część „wzorców” budzi mój niepokój, ale przecież nazwa nie ma znaczenia; zawsze powtarzam, że najważniejsza jest lekcja – nawet najlepiej napisany scenariusz (konspekt) nie gwarantuje sukcesu. Spójrzmy na to, jak otrzymano konspekt ze scenariusza przedstawionego powyżej. Strona nr 1 nie zmienia się, jedynie zamiast słowa scenariusz pojawia się konspekt.

Etap i czas

Opis

Sprawy organizacyjno-porządkowe

3’

1. Przywitanie się z uczniami, przedstawienie się.

2. Sprawdzenie obecności.

3. Sprawdzenie zadania domowego.

4. Zapisanie tematu lekcji.

Zapisywanie zdań za pomocą wyrażeń algebraicznych

7’

1. Pytam uczniów, czy słyszeli o wyrażeniach algebraicznych. Krótka dyskusja na ten temat, uczniowie podają swoje przykłady.

2. Na slajdzie nr 2 znajduje się strona 171 (podręcznik do VI klasy GWO). Uczniowie ustnie odpowiadają na kolejne pytania.

3. Pytam, co jest charakterystycznego w wyrażeniach algebraicznych.

4. Rozwiązywanie wspólnym frontem ćwiczeń B, C (s. 172) z podręcznika do VI klasy GWO. Uczniowie odpowiadają z ławki.

Rozwiązywanie zadań z zeszytu ćwiczeń

20’

Rozwiązywane będą ćwiczenia 1–5 ze strony 3 (zeszyt ćwiczeń, VI klasa, GWO); odpowiedzi:

3. a) , b) , c)

Umowy dotyczące zapisywania niektórych wyrażeń algebraicznych

7’

1. W ćwiczeniach 3–5 niektórzy uczniowie mogli zapisać wyrażenia algebraiczne prościej, np. zamiast 8x, lub zamiast . To pretekst do pokazania kolejnych slajdów.

2. Na slajdzie pokazują się animowane równości, tzn. na przykład najpierw , a potem ciąg dalszy: . Pokazane są oczywiście przykłady, gdy nie można pomijać znaku mnożenia.

Podsumowanie

4’

Pytania:

1. Czym zajmowaliśmy się na dzisiejszej lekcji? Podaj przykłady wyrażeń algebraicznych.

2. Opisz krótko, co to jest wyrażenie algebraiczne.

3. W jaki sposób możemy uprosić niektóre wyrażenia algebraiczne? Podaj kilka przykładów.

Omówienie pracy domowej

4’

Na tablicy zapisuję pracę domową: ćwiczenia 6–11, strony 4–5, zeszyt ćwiczeń do VI klasy GWO, dodatkowo wyświetlam ją na slajdzie nr 5.

Pożegnanie z uczniami, podziękowanie za lekcję.

Zadanie zapasowe

Podaj tekstową ilustrację do wyrażeń algebraicznych .

Przyglądając się dokładniej obu dokumentom, widzimy, że scenariusz przeznaczony jest dla mniej doświadczonego użytkownika, a taki użytkownik powinien zdawać sobie sprawę, że co prawda warto trzymać się scenariusza (konspektu), to jednak w czasie lekcji zdarzają się nieprzewidziane reakcje uczniów. Warto na zakończenie podkreślić, że chociaż czasy przeznaczone na poszczególne etapy lekcji sumują się do 45 minut, to jednak rzadko się zdarza, aby nauczyciel „zrealizował” materiał w zaplanowanym czasie, a bywa, że zostanie kilka minut, dlatego warto mieć w zapasie zadanie (zadania) zapasowe.

Jaki nauczyciel – instruktor czy doradca?

Oczywiście nauczyciel powinien być dobrze przygotowany do prowadzenia zajęć, co oznacza także pisanie sensownych scenariuszy i konspektów. Ale spójrzmy na rolę nauczyciela z ogólniejszej perspektywy. Tradycyjny obraz lekcji, który istnieje od pokoleń na całym świecie, to uczniowie siedzący w ławkach, przy stolikach, dość pasywnie słuchający nauczyciela, który przed klasą wykłada, pokazuje, tłumaczy coś na tablicy lub ekranie. Nauczyciel, który zaplanował lekcję, zna jej treść i musi przekazać ją uczniom, od których oczekuje się, że przyswoją tę treść, zastosują ją w pracy domowej, sprawdzianie czy na egzaminie. Taki schemat uczenia jest dominujący, nazwijmy go nauczyciel-instruktor; schemat ten obejmuje wykłady, ćwiczenia, podsumowania lekcji oraz wszelkiego rodzaju sprawdziany, klasówki, testy. Taka forma nauki nie ogranicza się wyłącznie do matematyki, dotyczy wszystkich przedmiotów. Już od dziesięcioleci pedagodzy zachęcają, aby dać uczniom większą kontrolę nad własną nauką; zaleca się strategie zmierzające do umieszczenia ucznia w centrum i przydzielenie mu aktywniejszej roli w procesie uczenia się. Takie strategie mogą obejmować takie działania, jak projekty trwające tydzień lub dłużej, pracę w małych grupach, dzięki czemu uczniowie muszą współpracować, aby rozwiązać jakiś problem. Nauczyciela, które potrafi uczniów i ich potrzeby umieścić w centrum, można nazwać nauczycielem-doradcą. Te dwie postawy, instruktora i doradcy, nie są w żadnym razie przeciwstawne. Ważne jest, aby obydwie pojawiały się w pracy nauczyciela.

Ćwiczenia

1. Na stronie [DM_materiały] znajdują się dwa scenariusze lekcji. Przeczytaj je uważnie, wskaż ich słabe i mocne strony. Spróbuj poprawić oba scenariusze.

2. Napisz scenariusz pierwszej lekcji dotyczącej pola figur, a następnie przerób ten scenariusz na konspekt.

Zagadnienia do dyskusji

1. Zapoznaj się z rozdziałem Konspekt do lekcji matematyki z [Siwek]. Przeczytaj konspekt dotyczący lekcji o wielokątach (wg naszych kryteriów tekst ten bardziej przypomina scenariusz). Oceń ten konspekt.

2. Wpisz w internetowej wyszukiwarce scenariusz lekcji matematyki. Zapoznaj się z przykładami znalezionych scenariuszy. Co o nich sądzisz?

3. Wpisz w internetowej wyszukiwarce konspekt lekcji matematyki. Zapoznaj się z przykładami znalezionych konspektów. Co o nich sądzisz?

4. Napisz na kartce, jak procentowo podzieliłabyś/podzieliłbyś pracę jako nauczyciel-instruktor lub nauczyciel-doradca. Uzasadnij ten procentowy podział.

Literatura

[Siwek] Siwek Helena, Dydaktyka matematyki. Teoria i zastosowania w matematyce szkolnej, WSiP (2005).

[DM_materiały] https://dopobrania.pwn.pl/category/nauki-matematyczno-przyrodnicze/

Subiektywny komentarz dotyczący literatury

W podręczniku [Siwek] można znaleźć wiele informacji na temat konspektów, chociaż przedstawiony przykład konspektu jest moim zdaniem zbyt rozbudowany; przewidziany czas 45 minut jest nierealny.

Strona [DM_materiały] związana jest z trzema tomami Dydaktyki matematyki; jesteśmy na początku tomu II. Na tej stronie są i będą umieszczane materiały do wszystkich tomów. Chciałbym zachęcić czytelników do przysyłania do mnie ciekawych spostrzeżeń, materiałów. Najlepsze z nich również zostaną umieszczone na stronie, oczywiście za zgodą i z podaniem nazwisk autorów nadesłanych prac.