Dane oryginału

COMPLETE BUSINESS STATISTICS

Amir D. Aczel, Jayavel Sounderpandian

Seventh edition

McGraw-Hill/Irwin

Projekt okładki i stron tytułowych

Małgorzata Smogorzewska

Wydawca

Dorota Siudowska-Mieszkowska

Koordynator ds. redakcji

Renata Ziółkowska

Redaktor

Barbara Jaworska

Koordynator produkcji

Mariola Iwona Keppel

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN

mobisfera.pl

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2000, 2018

Original edition copyright © 2009, 2006, 2002, 1999, 1996, 1993, 1989 by McGraw-Hill/Irwin, a business unit of The McGraw-Hill Companies, Inc., 1221 Avenue of the Americas, New York, NY, 10020. All rights reserved.

Polish edition copyright © 2018 by Wydawnictwo Naukowe PWN. All rights reserved.

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2018 r., (wyd. II)

Warszawa 2018

ISBN 978-83-01-19537-3

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Spis treści

Okładka

Strona tytułowa

Strona redakcyjna

Spis treści

Przedmowa

O Autorach

Przedmowa od Tłumacza

1. Wprowadzenie i statystyka opisowa

1.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

1.2. Percentyle i kwartyle

1.3. Miary tendencji centralnej

1.4. Miary zmienności

1.5. Grupowanie danych i histogramy

1.6. Skośność i kurtoza

1.7. Związek między średnią a odchyleniem standardowym

1.8. Metody prezentacji danych

1.9. Wstępna analiza danych

1.10. Wykorzystanie komputera

1.11. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

Studium przypadku 1: Wahania NASDAQ

2. Prawdopodobieństwo

2.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2.2. Podstawowe definicje: zdarzenia, przestrzeń prób i prawdopodobieństwa

2.3. Podstawowe reguły prawdopodobieństwa

2.4. Prawdopodobieństwo warunkowe

2.5. Niezależność zdarzeń

2.6. Zagadnienia z kombinatoryki

2.7. Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa

2.8. Tabela prawdopodobieństwa łącznego

2.9. Wykorzystanie komputera

2.10. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

Studium przypadku 2: Podania o pracę

3. Zmienne losowe

3.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

3.2. Wartość oczekiwana skokowej zmiennej losowej

3.3. Suma i kombinacje liniowe zmiennych losowych

3.4. Rozkład zero-jedynkowy

3.5. Zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym

3.6. Rozkład ujemny dwumianowy

3.7. Rozkład geometryczny

3.8. Rozkład hipergeometryczny

3.9. Rozkład Poissona

3.10. Zmienne losowe ciągłe

3.11. Rozkład jednostajny

3.12. Rozkład wykładniczy

3.13. Wykorzystanie komputera

3.14. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

Studium przypadku 3: Testowanie koncepcji

4. Rozkład normalny

4.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

4.2. Własności rozkładu normalnego

4.3. Standardowy (standaryzowany) rozkład normalny

4.4. Przekształcenia normalnej zmiennej losowej

4.5. Przekształcenie odwrotne

4.6. Szablon w arkuszu kalkulacyjnym

4.7. Rozkład normalny jako przybliżenie rozkładu dwumianowego

4.8. Wykorzystanie komputera

4.9. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

Studium przypadku 4: Gwoździe do przyjęcia

Studium przypadku 5: Decyzja wielowalutowa

5. Dobór próby i rozkłady statystyk z próby

5.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

5.2. Statystyki z próby jako estymatory parametrów populacji

5.3. Rozkłady statystyk z próby

5.4. Estymatory i ich własności

5.5. Stopnie swobody

5.6. Wykorzystanie komputera

5.7. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

Studium przypadku 6: Produkcja kołków – dobieranie próby

6. Przedziały ufności

6.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

6.2 Przedział ufności dla średniej z populacji, kiedy znane jest odchylenie standardowe w populacji

6.3. Przedziały ufności dla µ, gdy σ jest nieznane. Rozkład t

6.4. Przedziały ufności dla frakcji populacji, gdy próba jest duża

6.5. Przedziały ufności dla wariancji w populacji

6.6. Wyznaczanie liczebności próby

6.7. Szablon w arkuszu kalkulacyjnym

6.8. Wykorzystanie komputera

6.9. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

Studium przypadku 7: Sondaż kandydata na prezydenta

Studium przypadku 8: Problem prywatności

7. Weryfikacja hipotez statystycznych

7.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

7.2. Podstawowe idee związane z weryfikacją hipotez

7.3. Wyznaczanie wartości p

7.4. Testy statystyczne

7.5. Decyzje oparte na testach wstępnych

7.6. Wykorzystanie komputera

7.7. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

Studium przypadku 9: Zużyte opony 1

8. Porównywanie dwóch populacji

8.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

8.2. Porównywanie wyników obserwacji zestawionych w pary

8.3. Testowanie różnicy między średnimi w dwóch populacjach na podstawie niezależnych prób losowych

8.4. Test dla frakcji w dwóch populacjach w przypadku dużych prób

8.5. Rozkład F i test dla wariancji w dwóch populacjach

8.6. Wykorzystanie komputera

8.7. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

Studium przypadku 10: Zużyte opony 2

9. Analiza wariancji

9.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

9.2. Weryfikacja hipotez w analizie wariancji

9.3. Teoria i obliczenia ANOVA

9.4. Tablica ANOVA i przykłady

9.5. Dalsza analiza

9.6. Modele, czynniki, układy eksperymentów

9.7. Dwuczynnikowa (podwójna) analiza wariancji

9.8. Układ blokowy

9.9. Wykorzystanie komputera

9.10. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

Studium przypadku 11: Ocenianie win

Studium przypadku 12: Sprawdzanie kas

10. Regresja liniowa prosta i korelacja

10.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

10.2. Model regresji liniowej prostej

10.3. Szacowanie (estymacja): metoda najmniejszych kwadratów

10.4. Wariancja resztowa i błędy standardowe estymatorów regresji

10.5. Korelacja

10.6. Testy hipotez związanych z regresją

10.7. Na ile dobra jest regresja?

10.8. Tablica analizy wariancji i test F w modelu regresji

10.9. Analiza reszt i sprawdzanie poprawności modelu

10.10. Wykorzystywanie modelu regresji do prognozowania (przewidywania)

10.11. Wykorzystanie komputera

10.12. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

Studium przypadku 13: Dźwignia finansowa przedsiębiorstwa a prawa akcjonariuszy

Studium przypadku 14: Ryzyko i stopa zwrotu

11. Regresja wieloraka

11.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

11.2. Model regresji wielorakiej z k zmiennymi objaśniającymi

11.3. Test F w modelu regresji wielorakiej

11.4. Na ile dobre jest równanie regresji?

11.5. Testy istotności poszczególnych zmiennych objaśniających

11.6. Sprawdzanie poprawności modelu regresji

11.7. Zastosowanie modelu regresji wielorakiej w celach prognostycznych

11.8. Jakościowe zmienne objaśniające

11.9. Regresja wielomianowa

11.10. Modele nieliniowe i ich przekształcenia

11.11. Współliniowość

11.12. Autokorelacja składnika losowego i test Durbina–Watsona

11.13. Częściowy test F i metody doboru zmiennych objaśniających

11.14. Wykorzystanie komputera

11.15. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

Studium przypadku 15: Zwroty z kapitału w czterech sektorach

12. Szeregi czasowe,prognozowanie i indeksy

12.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

12.2. Analiza trendu

12.3. Sezonowość i cykliczność

12.4. Metoda średniej ruchomej

12.5. Metody wygładzania wykładniczego

12.6. Wskaźniki (indeksy)

12.7. Wykorzystanie komputera

12.8. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

Studium przypadku 16: Prognozowanie sprzedaży części samochodowych

13. Kontrola i poprawa jakości

13.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

13.2. W. Edwards Deming instruuje

13.3. Statystyka i jakość

13.4. Karta kontrolna x

13.5. Karta kontrolna R i karta kontrolna s

13.6. Karta kontrolna p

13.7. Karta kontrolna c

13.8. Karta kontrolna x

13.9. Wykorzystanie komputera

13.10. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

Studium przypadku 17: Kontrola i poprawa jakości w Nashua Corporation

14. Metody nieparametryczne i testy chi-kwadrat

14.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

14.2. Test znaków

14.3. Test serii – test losowości

14.4. Test U Manna–Whitneya

14.5. Test rangowanych znaków Wilcoxona

14.6. Test Kruskala–Wallisa – nieparametryczna alternatywa dla jednokierunkowej ANOVA

14.7. Test Friedmana dla ulosowionego (zrandomizowanego), zblokowanego planu eksperymentu

14.8. Współczynnik korelacji rang Spearmana

14.9. Test zgodności chi-kwadrat

14.10. Analiza tablic wielodzielczych – test niezależności chi-kwadrat

14.11. Test równości frakcji (test jednorodności) chi-kwadrat

14.12. Wykorzystanie komputera

14.13. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

Studium przypadku 18: Dziewięć krain Ameryki Północnej

15. Statystyka bayesowska i analiza decyzji

15.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

15.2. Twierdzenie Bayesa dla dyskretnych modeli probabilistycznych

15.3. Twierdzenie Bayesa dla ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa

15.4. Wyznaczanie subiektywnych prawdopodobieństw

15.5. Analiza decyzji: przegląd ogólny

15.6. Drzewa decyzyjne

15.7. Korzystanie z dodatkowych informacji za pomocą twierdzenia Bayesa

15.8. Użyteczność

15.9. Wartość informacji

15.10. Wykorzystanie komputera

15.11. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

Studium przypadku 19: „Pizzas ‘R’ Us”

Studium przypadku 20: Opracowanie nowego leku

16. Metody doboru próby

16.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

16.2. Nielosowy dobór próby i błąd obciążenia

16.3. Losowanie warstwowe

16.4. Losowanie zespołowe

16.5. Losowanie systematyczne

16.6. Odmowy odpowiedzi

16.7. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

Studium przypadku 21: Urząd ds. Przebudowy Bostonu

17. Analiza wielowymiarowa

17.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

17.2. Wielowymiarowy rozkład normalny

17.3. Analiza dyskryminacyjna

17.4. Składowe główne oraz analiza czynnikowa

17.5. Wykorzystanie komputera

17.6. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

Studium przypadku 22: Przewidywanie upadku firmy

Dodatek A. Bibliografia

Dodatek B. Odpowiedzi do większości zadań o numerach nieparzystych

Dodatek C. Tablice statystyczne

Wprowadzenie do podstaw Excela

Praca z szablonami

Przypisy

8.5. Rozkład F i test dla wariancji w dwóch populacjach

W tym podrozdziale poznamy ostatni z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa stosowanych w badaniach statystycznych. Jest nim rozkład F, nazwany tak od pierwszej litery nazwiska angielskiego statystyka Sir Ronalda A. Fishera, który ten rozkład odkrył w 1924 r.

Rozkład F jest rozkładem ilorazu dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie chi-kwadrat, podzielonych przez właściwe dla nich liczby stopni swobody.

Niech będzie zmienną losową chi-kwadrat o k₁ stopniach swobody, a  inną zmienną losową chi-kwadrat, niezależną od poprzedniej, o k₂ stopniach swobody. Wtedy iloraz we wzorze 8.15 ma rozkład F o k₁ i k₂ stopniach swobody.

Zmienna losowa F o k₁i k₂ stopniach swobody:

(8.15)

Rozkład F charakteryzują dwie liczby stopni swobody: k₁, zwana liczbą stopni swobody w liczniku, i k₂, zwana liczbą stopni swobody w mianowniku. Zawsze wymienia się najpierw pierwszą, a potem drugą z tych liczb. Pierwsza jest związana ze zmienną chi-kwadrat występującą w liczniku, a druga – ze zmienną chi-kwadrat występującą w mianowniku wzoru 8.15.

Ponieważ jest wiele możliwych kombinacji stopni swobody zmiennej losowej F, tablice podające jej wartość przy zadanym prawdopodobieństwie są jeszcze bardziej zwięzłe niż tablice zmiennej chi-kwadrat. Tablica 5 w dodatku C podaje wartości krytyczne Fα dla rozkładu F przy różnych liczbach stopni swobody w liczniku i w mianowniku, odpowiadające prawostronnym obszarom dla α = 0,10; 0,05; 0,025 i 0,01. Druga część tablicy 5 podaje wartości krytyczne przy α = 0,05 i α = 0,01 dla szerszego zakresu zmiennych losowych F. Wykorzystajmy tablicę 5 do przekonania się, że punkt 3,01 odcina pole o mierze 0,05 z prawej strony pod krzywą gęstości rozkładu zmiennej losowej F, o 7 stopniach swobody w liczniku i 11 stopniach swobody w mianowniku, co pokazano na rysunku 8.12. Na rysunku 8.13 pokazano rozkłady F o różnej liczbie stopni swobody (w liczniku i w mianowniku). Rozkłady F są niesymetryczne (własność, którą dziedziczą po swoich macierzystych rozkładach chi-kwadrat), a kształtem przypominają rozkłady chi-kwadrat. Zauważmy, że F₍₇, ₁₁) ≠ F₍11,7₎. Dlatego trzeba zwracać uwagę, która liczba stopni swobody odnosi się do licznika, a która do mianownika.

Rysunek 8.12. Rozkład F o 7 i 11 stopniach swobody

Rysunek 8.13. Kilka rozkładów F

Tablica 8.2 (uzupełniona rysunkiem) jest reprodukcją części tablicy 5 z dodatku C, pokazującą punkty (wartości) odcinające z prawej strony pod krzywą gęstości rozkładu pola o mierze α = 0,05 przy różnych kombinacjach stopni swobody w liczniku i w mianowniku.

Tablica 8.2. Krytyczne punkty (wartości) odcinające z prawej strony pod krzywą gęstości rozkładu pole o mierze 0,05, dla wybranych rozkładów F

10.2. Model regresji liniowej prostej

Jak wiemy z algebry, linia prosta jest opisana równaniem Y = A + BX, gdzie A reprezentuje punkt przecięcia z osią rzędnych, a B – nachylenie linii. W przypadku regresji liniowej prostej modelujemy zależność między dwiema zmiennymi X i Y jako linię prostą. Dlatego nasz model musi zawierać dwa parametry: parametr przecięcia [inaczej: wyraz wolny lub stała – przyp. tłum.]) i parametr nachylenia [współczynnik kierunkowy – przyp. tłum.])[3]. W powszechnie przyjętym zapisie wyraz wolny dla populacji oznacza się przez β₀, a nachylenie dla populacji przez β₁. Dodając składnik (błąd) losowy ε, model regresji dla populacji dany jest równaniem 10.1.

Model regresji liniowej prostej dla populacji jest następujący:

Y = β₀ + β₁X + ε,(10.1)

gdzie Y jest zmienną objaśnianą (zależną), tj. zmienną, której kształtowanie się chcemy wyjaśnić lub przewidzieć, X jest zmienną objaśniającą (niezależną), nazywaną też predyktorem lub regresorem, a ε jest składnikiem (błędem) losowym, czyli jedynym losowym komponentem modelu i tym samym jedynym źródłem losowości Y.

Parametry modelu są następujące:

β₀ jest punktem przecięcia z osią rzędnych linii prostej Y = β₀ + β₁X (linia nie zawiera składnika losowego),

β₁ jest nachyleniem linii Y = β₀ + β₁X.

Model regresji liniowej prostej dany równaniem 10.1 składa się z dwóch elementów: składnika nielosowego, którym jest sama linia prosta, oraz składnika (błędu) losowego ε. Pokazano to na rysunku 10.4. Nielosowy składnik modelu (linia prosta) jest równaniem średniej wartości Y, przy danej wartości X. Oznaczamy warunkową średnią wartość Y przy danym X przez A zatem, jeżeli model jest poprawny, to średnia wartość Y przy danej wartości X znajduje się dokładnie na linii regresji. Równanie średniej wartości Y, przy danym X, jest określone wzorem 10.2.

Rysunek 10.4.Model regresji liniowej prostej

Warunkowa średnia wartość Y wynosi:

(10.2)

Porównując równania 10.1 i 10.2, widzimy, że na podstawie naszego modelu każda wartość Y obejmuje średnią wartość Y dla danej wartości X (czyli linię prostą) oraz błąd losowy. Czasem będziemy używać uproszczonego zapisu E(Y) na oznaczenie linii, pamiętając jednak, że zawsze chodzi o warunkową średnią Y przy danej wartości X. Gdy X rośnie, średnia wartość Y w populacji też rośnie, jeśli nachylenie linii regresji jest dodatnie, lub maleje, gdy jest ujemne. Faktyczna wartość Y w populacji jest równa średniej warunkowej wartości Y względem X powiększonej o błąd (składnik) losowy ε. Dla danej wartości X możemy więc zapisać:

Y = średnia Y przy danym X + błąd.

Model regresji dla populacji pokazano na rysunku 10.5.

Rysunek 10.5. Linia regresji dla populacji

Określimy teraz założenia modelu regresji liniowej prostej.

Założenia modelu regresji liniowej prostej:

Związek między X i Y jest związkiem liniowym.

Wartości zmiennej objaśniającej X są ustalone (nie są losowe). Jedyna losowość w wartościach Y pochodzi ze składnika (błędu) losowego ε.

Składniki (błędy) losowe ε mają rozkład normalny o średniej 0 i stałej wariancji σ². Składniki (błędy) losowe związane z kolejnymi obserwacjami nie są ze sobą skorelowane (ich rozkłady są od siebie wzajemnie niezależne)[4]. W przyjętej w tej książce symbolice:

ε ∼ N(0, σ2)(10.3)

(1 − α)100% przedział prognozy dla Y wynosi:

(10.32)

Jak widać z tego wzoru, rozpiętość przedziału zależy od odległości wartości x (dla której prognozujemy wartość Y) od średniej Pokazano to na rysunku 10.33.

Rysunek 10.32. Prognoza w przykładzie American Express

Rysunek 10.33 Przedział prognozy i jego rozpiętość

Skorzystamy z równania 10.32 do wyznaczenia 95% przedziału prognozy dla obciążenia karty kredytowej American Express przez posiadacza karty, który przebył trasę o długości 4000 mil. Wemy, że w tym przykładzie . Wiemy też, że SSX = 40 947 557,84, a s = 318,16. W tablicy 3 w dodatku C znajdujemy wartość krytyczną w rozkładzie t przy 23 stopniach swobody: 2,069. Stosując równanie 10.32, otrzymujemy:

5296,05 ± (2,069)(318,16) √1 + 1/25 + (4000 – 3177,92)²/40 947 577,84

= 5296,05 ± 676,62 = [4619,43, 5972,67]

Opierając się na wynikach badań, możemy być w 95% pewni, że posiadacz karty, który przebył trasę 4000 mil w okresie o danej długości, obciąży swoją kartę kredytową sumą od 4619,43 $ do 5972,67 $.

A jakie jest przeciętne obciążenie kart kredytowych wszystkich posiadaczy, którzy przebyli trasę 4000 mil? Wynosi ono Punktowa ocena jest także równa , ale przedział ufności jest inny.

Przedział ufności dla średniej Y przy danej wartości X

Możemy wyznaczyć przedział ufności dla , tj. oczekiwanej wartości Y przy danym X. Zmienność jest tu mniejsza, ponieważ mamy do czynienia z przeciętną, a nie określoną wartością Y dla danego X. Przedział ufności jest więc węższy od przedziału prognozy przy tym samym poziomie ufności. Przedział ufności dla jest określony wzorem 10.33.

(10.33)

Przedział ufności dla wokół linii regresji wygląda tak, jak przedział na rysunku 10.33, ale jest węższy. Błąd standardowy estymatora warunkowej średniej jest mniejszy niż błąd standardowy prognozowanego Y. Dlatego we wzorze 10.33 pod pierwiastkiem nie występuje liczba 1, która występuje we wzorze 10.32.

Rozdział 10

[3] W tłumaczeniu będziemy używać zamiennie pojęć „przecięcie”, „wyraz wolny” lub „stała”, a także terminów „nachylenie” lub „współczynnik kierunkowy” [przyp. tłum.].

[4] Pojęcie statystycznej korelacji zostanie szczegółowo wyjaśnione w podrozdziale 10.5. W przypadku składnika losowego modelu regresji, zakładamy, że kolejne błędy ε₁, ε₂, ε₃, … są nieskorelowane. Oznacza to, że nie są ze sobą związane, że nie występuje żaden trend oraz że nie ujawnia się wspólna tendencja kolejnych błędów. Warto dodać, że założenie braku korelacji wraz z założeniem normalnego rozkładu implikuje niezależność błędów. Niezależność pociąga za sobą brak korelacji, ale brak korelacji nie implikuje niezależności, poza przypadkiem, gdy rozkład jest normalny.